几道关于计数的趣题

1. 用PEPPER的6个字母进行排列，一共有几种不同的排列顺序？

这题和传统的排列不同，不是单纯的6!就好了，因为有重复元素，即每一个P和E都是相同的，若给所有字母标上下标，则以下三种排列P1E1P2P3E2R1，P2E1P1P3E2R1和P3E1P2P1E2R1都是相同的，这三种排列只能算是一种情况。所以现在我们要做的就是在6!种排列顺序中，挑出所有不同的排列顺序。对于一种给定的顺序比如说PPPEER，如果能算出PPPEER共能代表多少种排列，然后用总数除一下，就能得到不同的排列数。很明显有3!*2!种（P的带下标排列乘以E的带下标排列）。然后6!/(3!*2!) 就是所求的答案。

2. 证明nCr = (n-1)C(r-1)+ (n-1)Cr （注：nCr 代表n里面选择r个）

这是一个经典的组合学结论。这里给出一个比较巧妙的证明。

假设有一个特殊的元素A，那么nCr里要么包含A，要么不包含A。

假如包含A，那么就是在剩下的n-1个里选r-1个，即(n-1)C(r-1)；假如不包含A，那么就是在剩下的n-1个里选r个，即(n-1)Cr。所以结合下两种情况，nCr = (n-1)C(r-1)+ (n-1)Cr。

3. x1+x2+...+xr = n一共有多少个正整数解？ 

这是个“插空法”的典型应用。画n个圈，圈和圈之间有n-1个空挡。所以问题就转化为，在这n-1个空挡里，选择r-1个，就把圈分成r部分，第一部分的圈圈数即x1，第一部分的圈圈数即x2，以此类推。所以答案即(n-1)C(r-1)。很显然这个“插空法”的解和原问题的解是一一对应的。

拓展问题：x1+x2+...+xr = n一共有多少个非负整数解？

这个问题等价于x1+x2+...+xr = n+r有多少个正整数解。

4. 3*4矩形，你从左下角出发，只能向右走和向上走，目的地是右上角，共有多少种移动方法？

我们发现，一共可以走7步，其中有3步是向上走，其它均为向左，我们只要决定7步里哪3步是向上走，就能得出答案。所以这就是一个组合学问题，7C3即使答案。

其实你如果把从左下角出发，到图中任意一个点的移动方法数都算出来，值写在顶点旁边，然后想象一下手拿着左下角，把整个3*4矩形“拎”起来，那么这就是个杨辉三角。解释也很简单：走到右上角坐标（4,3）这个点，最后一步要么从它左边来，要么从它下面来，所以移动方法数等于到坐标(3,3)的方法数加上到坐标(4,2)的方法数。这就对应杨辉三角上面两个数相加等于下面那么数。

最后留一道思考题给大家思考思考：

5. 一共有16个身高不同的人，排列成两排，每排8人，要求每排的人身高从低到高，并且后排的每个人要比他对应的前排的人要高。问这样的排列方式一共有几种。

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参考资料：

[1] 《A first course in Probability》 Sheldon M Ross

[2] 《程序员的数学》