博弈问题

来源：互联网发布：域名被攻击解决办法编辑：程序博客网时间：2024/04/29 20:38

博弈问题概述

常见的博弈类问题有三种：巴什博弈、威佐夫博弈和尼姆博弈。

一般的思路都是寻找奇异局势（必败态）。

必败态：下一步无论如何处理都会达到必胜态；

必胜态：下一步至少存在一种处理可以达到必败态。

如果一开始是一个奇异局势，则先手必败；否则，先手必赢（如果双方都懂得游戏规则）。

巴什博弈

问题描述

最简单的一类博弈问题。只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

解决思路

显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。

因此我们发现了如何取胜的法则：

如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

例子

HDU 1846

最简单的巴什博弈。

#include <stdio.h>int main(){    int C;    int n, m;    scanf("%d", &C);    while (C --)    {        scanf("%d%d", &n, &m);        if (n%(m+1) == 0)            printf("second\n");        else            printf("first\n");    }    return 0;}

HDU 1847

巴什博弈的变形。

只要保证剩下的数量为3的倍数，即可确保胜利。因为留下3的倍数时，对手有两种情况：

1）：如果轮到对方抓牌时只剩3张牌，对方要么取1张，要么取2张，剩下的你全取走，win！

2）：如果轮到对方抓牌时还剩3*k张牌，对手不管取多少，剩下的牌数是3*x+1或者3*x+2。轮到你时，你又可以构造一个3的倍数。所以无论哪种情况，当你留给对手为3*k的时候，你是必胜的。

#include <stdio.h>int main(){    int n;    while (scanf("%d", &n) != EOF)    {        if (n%3 == 0)            printf("Cici\n");        else            printf("Kiki\n");    }    return 0;}

威佐夫博弈

问题描述

威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

解决思路

解决思路同样是寻找奇异局势。

用(ak, bk)（ak ≤ bk ,k=0, 1, 2, ... , n)表示两堆物品的数量并称其为局势。很显然，(0, 0)是一个奇异局势。前几个奇异局势是：(0, 0)、(1, 2)、(3, 5)、(4, 7)、(6, 10)、(8, 13)、(9, 15)、(11, 18)、(12, 20)。

可以看出,a0=b0=0，ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k。

关于奇异局势的几个性质：

（1）：任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中；

（2）：任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势；

（3）：采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

例子

尼姆博弈

问题描述

有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

解决思路

用一个三元组(a, b, c)表示局势。任何奇异局势 (a, b, c)都有a ^ b ^ c = 0。

如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？

假设 a < b < c，我们只要将 c 变为 a ^ b，即可,因为有如下的运算结果：a ^ b ^ (a ^ b)=(a ^ a) ^ (b ^ b)=0 ^ 0=0。要将c 变为a ^ b，只要从 c中减去 c - (a ^ b)即可。