转自：http://www.klogk.com/posts/hdu4565/


题意非常简单，a,b,n都是正整数，求

Sn=⌈(a+b√)n⌉%m,(a−1)2<b<a2

这个题目也是2008年Google Codejam Round 1A的C题。

做法其实非常简单，记(a+b√)n为An，配项

Cn=An+Bn=(a+b√)n+(a−b√)n

两项恰好共轭，所以Cn是整数。又根据限制条件

(a−1)2<b<a2⇒0<a−b√<1⇒0<(a−b√)n<1⇒Bn<1

也就是说Cn=⌈An⌉

Sn=(Cn)%m

求Cn的方法是递推。 对Cn乘以(a+b√)+(a−b√)

Cn[(a+b√)+(a−b√)]=[(a+b√)n+(a−b√)n][(a+b√)+(a−b√)]=(a+b√)n+1+(a−b√)n+1+(a+b√)n(a−b√)+(a−b√)n(a+b√)=Cn+1+(a2−b)(a+b√)n−1+(a2−b)(a−b√)n−1=Cn+1+(a2−b)Cn−1

于是

Cn+1=2aCn−(a2−b)Cn−1

把这个递推式写成矩阵形式

[Cn+1Cn]=[2a1−(a2−b)0][CnCn−1]

于是就可以用矩阵快速幂来做了

[Cn+1Cn]=[2a1−(a2−b)0]n[C1C0]



一个需要注意的地方是快速幂的过程中由于取余可能出现负数，要化为正数。


#include<cstdio>using namespace std;__int64 A[3][3],s[3][3],tmp[3][3];void fun(__int64 n,__int64 m){__int64 i,j,k;for(i=1;i<=2;i++)for(j=1;j<=2;j++){s[i][j]=A[i][j];}--n;while(n){//printf("n=%d\n",n);if(n&1){for(i=1;i<=2;i++)for(j=1;j<=2;j++){tmp[i][j]=A[i][j];A[i][j]=0;}for(i=1;i<=2;i++)for(j=1;j<=2;j++)for(k=1;k<=2;k++){A[i][j]=((A[i][j]+tmp[i][k]*s[k][j])%m+m)%m;}}for(i=1;i<=2;i++)for(j=1;j<=2;j++){tmp[i][j]=s[i][j];s[i][j]=0;}for(i=1;i<=2;i++)for(j=1;j<=2;j++)for(k=1;k<=2;k++){s[i][j]=((s[i][j]+tmp[i][k]*tmp[k][j])%m+m)%m;}n>>=1;}}int main(){__int64a,b,n,m;__int64 i,j;while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&n,&m)==4){if(n==1){printf("%I64d\n",2*a%m);continue;}A[1][1]=2*a;A[1][2]=b-a*a;A[2][1]=1;A[2][2]=0;fun(n-1,m);/*for(i=1;i<=2;i++){for(j=1;j<=2;j++)printf("%I64d ",A[i][j]);printf("\n\n");}*//*for(i=1;i<=2;i++){                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  for(j=1;j<=2;j++)printf("%I64d ",s[i][j]);printf("\n\n");}*/printf("%I64d\n",((A[1][1]*2*a+A[1][2]*2)%m+m)%m);}return 0;}


一个要注意的地方是快速幂的过程中由与取余导致出现负数，要使它为正数

一个要注意的地方是快速幂的过程中由与取余导致出现负数，要使它
一个要注意的地方是快速幂的过程中由与取余导致出现负数，要使它为正数