2013 深圳杯数学建模夏令营 A 题论文

2013 深圳杯数学建模夏令营 A 题论文摘要

  

食品的质量和卫生问题是关系到民生的大问题，因此，对食品的检查显得非常重要。本文结合实际，应用AHP方法、分层抽样和线性目标规化方法，建立了集时间、费用和效果为一体的数学模型，具体如下。

    对于问题一，我们首先将主要食品进行分类，然后将影响食品安全的因素主要分为生物性污染、化学性污染、物理性污染三大类，并将这三类污染所造成的主要危害归纳为七类，接着采用AHP法对问题进行定量分析，最后通过一致性检验并得出其危害性的大小，得到结果细菌危害最严重，食品添加剂导致的危害次之等。

    对于问题二，针对部分主要产品，我们先采用了分层抽样的方法对不同品牌不同批次的产品进行抽检，建立了样本分配率、样本方差、总体抽样率、分层抽样率等函数方程，然后对上一步所抽到的批次利用线性目标规划的方法，建立了集时间较短、成本费用较低和抽样效果较好的抽检模型——线性目标规划模型，并利用统计学原理对检测误差进行分析。最后，我们根据模型针对乳制品中的酸奶进行模拟检验，检验的结果误差百分比为4.24%<5%，可靠性较高。

对于问题三，我们利用问题二所建立的模型制订了一种较为合理的抽检方案（根据假设总共抽检79个批次，每个批次抽检2个项目）。然后，我们进行了可靠性分析，抽检的误差百分比为1.15%<5%，可靠性较高。

对于问题四，它实际是在问题三的基础上，对面粉进行多次跟踪抽检。我们对问题二所建立的模型进行了改进，引入新的变量建立函数关系，并运用MATLAB优化工具箱进行求解，得出了最佳的抽检策略和抽检数量（结果为跟踪抽检3次，共抽检113个批次），所得结果可靠性较高、成本较低，且工时比较少，用计算机进行模拟检验时效果比较乐观。

最后，我们对模型的优缺点进行了评价，讨论了其推广应用的价值，并主管部门写了一份报告，提出了一些解决问题的可行性建议，可为主管部门和市民提供一些参考。

关键词 ：AHP法，分层抽样，目标规划、统计分析、可靠性

                              

一 问题的重述

改革开放三十年来，我国人民生活水平在不断地提高，食品安全和卫生问题越来越受到人们的关注。近几年来，先后出现了苏丹红、瘦肉精、三聚氰胺等事件，以及各种不利于健康的食品添加剂、强化剂问题的出现，食品安全和卫生的检测已成为全社会，乃至政府有关部门重点关注的问题之一。

食品的质量和卫生问题涉及到原材料的使用、生产加工、运输与贮存、流通与销售等环节，在每一个环节上出现差错，都会导致食品出现安全和卫生问题，食品质量和卫生的检测工作在实际显得非常重要。但是，由于食品的种类、品牌和批次繁多，从生产加工到销售食用中间环节复杂，质检部门不可能对所有食品做到全面的质量检测，一般只能做一定的抽检。当然，对食品进行抽检也需要一定人力、物力和财力（即成本费用），抽检的越多检测效果就越好，但需要的时间就越长，其成本费用也就越高。为此，应该如何抽检，既能保证较好的检测效果，又能节省时间和成本费用？请根据实际情况，建立数学模型分析研究下列问题：

（1）根据主要食品的分类，试分析影响各类食品安全的因素，对其可能的危害性做出定量的比较评估分析。

（2）针对部分主要食品，结合实际建立合理的抽检模型，给出检测误差（即检测的可靠性）分析的方法，并对模型进行模拟检验。

（3）面粉是我国中北部地区主要的主食原材料，不妨就已推广食用的“营养强化面粉”抽检问题进行讨论，“营养强化面粉”的配方标准如表1所示。假设某地区现有12个品牌的营养强化面粉产品，每个品牌每月将有不少于60个批次（即同一企业、同一条生产线、同一批投料、同一班次生产的产品为1个批次）的产品在市场上销售，质检部门要做一次全面的质量检查，请你帮助制订一种合理的抽检方案，并分析其检测的可靠性。所需要检验项目、标准、成本和工时如表2所示。

（4）针对问题（3），如果质检部门需要连续进行多次跟踪抽检，请你给出相应的抽检策略和最佳的抽检数量，使其检测可靠性尽量高、成本尽量低、工时尽量少，并用计算机进行模拟检验。

（5）请根据你们的研究，深入分析食品安全存在的隐患和根源，并提出有效可行的解决问题办法和建议，可供主管部门和市民参考。

二 模型的假设

1、假设模型求解过程中所用的数据都是合理的；

2、假设同一类食品每次抽检的项目数相同；

3、假设不考虑抽检人数的限制；

4、假设每天抽检的最大时间为法定工作时间8小时，一个月工作22天；

5、假设抽检的最大费用有限制；

三 符号约定

-----总体均值的估计量（st表示分层）；

------------层权（）,i=1,2…N;

L-------------抽样系统中总的生产批次；

------------第i层生产批次数；

----------第i层的样本均值；

-------------第i层抽取的样本量；

------------第i层的方差；

-------------第i层的抽样比（/）；

-------------为L在1-置信水平下的绝对误差限；

------------标准整天分布的双侧分位数；

-------------第i层每个样本单位的平均费用；

-------------第i层每个样本单位的平均检验工时；

-------------固定费用；

-------------每个抽检批次的检查项目；

----------抽检的最长时间；

-----------抽检的最大费用；

-----------抽检的总项目数；

------------每次每项抽检的平均时间；

-----------每次每项抽检的平均费用；

四 问题的分析与模型的建立

4.1对问题一的分析与模型建立

4.1.1问题一的分析

为了分析与比较影响食品安全因素所产生的危害程度，首先我们将主要食品分为：肉制品、乳制品、酿造食品和蛋白质含量较高食品等；接着分析确定影响食品安全的因素，我们从微生物污染、化学污染和物理污染三方面进行分析与确定；然后对于各因素影响食品产生的危害，其一是由微生物污染导致的细菌危害、病毒危害和寄生虫危害；其二是由化学污染引起的食品添加剂（如非食用添加剂）导致的危害、环境污染（如农药，包括灭鼠药和兽医用药）导致的化学危害和天然存在的化学危害；其三是由物理性污染引起的重金属中毒等危害。

因此，问题一就可以归结为各因素影响食品导致的危害对食品质量的影响权重问题。解决这类问题首先要统计分析各类影响指标的数值特征。然后再对其进行归一化处理，并利用层次分析法对其权重进行赋值。最终得到各因素对食品安全的影响排名。

4.1.2问题一的模型建立

（1）根据影响食品安全的各因素与危害间的关系，我们建立的不完全层次分析算法的基本结构图如下：

  

（2）根据对问题一的分析，我们建立了如下成对比较矩阵

假设要比较某一层的个因素对上一个因素O的影响，取两个因素和，用表示和对的影响之比，全部比较的结果可用成对比较矩阵：

，

表示，并称以上矩阵为正互反矩阵。

（3）一致性检验及权重向量的确定

成对比较矩阵通常不是一致阵，为了能用它的最大特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度需要控制在一定的范围内。计算方法如下：定义：一致性指标；一致性比率为;本文中，对应的.

当时，认为矩阵的不一致程度在容许的范围内。其中最大特征根的特征向量即为相应的权重向量。

4.2问题二的分析与模型建立

4.2.1问题二的分析

从问题二的题设我们知道，为了建立合理的抽检模型，我们首先需要对现有的统计信息进行定量分析。由于问题二的求解几乎需要考虑文中提供的所有已知信息，所以为了简化数学模型的计算复杂度，我们可以在某些直观问题上进行简单的定性分析。例如，原文附录中给出了主要食品和主要抽检项目，为此我们可以主观上认为我们要考虑的部分食品就是附录1中的部分主要食品，要抽检的项目就是附录2中给的8个项目。

在基本确定主要食品和抽检项目后，首先我们利用分层抽样模型确定这些主要食品中每种品牌所要抽检的批次数的最优值，然后，我们利用法定的工作时间确定最大抽检时间和费用。最后计算出每种品牌中要抽的批次数及每个批次的药抽检的项目数，对其优劣进行综合评价。

4.2.2问题二的模型

（一）分层抽样

通过上述对问题二的分析，我们利用分层抽样法建立下列函数关系：

    设整个抽样为一个系统L，系统中含有种品牌，每个品牌的生产批次数为，则总体均值的估计量：               （1）

第i层的方差：                                    （2）

由误差知识可得：

                          （3）

联立上述各式可得：                                 （4）

调查费用函数：                                      （5）

各层样本量的最优分配：                                        

（6）

由于每个样本的调查费用相同，故上式可以化为

                                        （7）

联立（4）和（7）可得，总体抽样率为

                                     （8）也可得到分层抽样率为

                              （9）

（二）模型的建立——线性目标规化

在以上函数关系以及抽检费用有限制的条件下，模型以抽检项目数最多为目标函数所建立的模型如下： 

S.T.                                             （10）

（2）检测误差（即检测的可靠性）分析的方法:

                         （11）

4.3问题三的分析

面粉是一种十分重要的原材料，因此对面份的抽检具有代表性。根据题目的要求，质检部门要做一次全面的质量调查，其抽检方案是问题二模型的具体应用。所以，我们只需将问题二建立的模型具体化，得出具体的抽检方案，并对检测的可靠性进行分析即可。

4.4问题四的分析与模型的建立

4.4.1问题四的分析

对于问题四，它其实是在问题三的基础上，对面粉的质量进行多次跟踪抽检，我们对问题二所建立的模型进行了改进，引入新的变量时间，建立新的函数关系，并运用MATLAB优化工具箱进行求解，得出了最佳的抽检策略和抽检数量，使检测可靠性较高、成本较低，且工时比较少，用计算机进行模拟检验时效果比较乐观。

4.4.2问题四的模型建立

由多次跟踪抽检可知：抽检批次数与时间是成反相关的，故我们可以作L与t的函数：,分别使抽检的效果最好、费用最低、时间最少。目标函数为：

五 模型的求解

5.1模型一的求解

5.1.1确定准则层对目标层的权重向量

A=,=3.0385，权重向量为w=（0.6370，0.2583，0.1047）

5.1.2确定方案层对准则层的权重向量

=,= ，=[1].

求解结果如下：（编程程序见附件一）

矩阵

特征值

一致性指标CI

随机一致性指标RI

一致性比率CR

权重向量

3.0385

0.01925

0.58

0.033<0.1

（0.6370，0.2583，0.1047）

3.0649

0.03245

0.58

0.016225<0.1

（0.6491，0.2790，0.0719）

1

0

0

0<0.1

（1）

由上表中<0.1可知矩阵、、都通过了一致性检验。

5.1.3确定影响因素的权重向量

组合权重：

(i)=(0.6370*0.6370,0.2583*0.6370,0.1047*0.6370,0.6491*0.2583,0.2790*0.2583,0.0719*0.2583,1*0.1047)=(0.405769,0.1645371,0.0666939, 0.16766253, 0.0720657, 0.01857177,0.1047)

=（0.4058，0.1645，0.0667，0.1677，0.0721，0.0186，0.1047）

CR=(0.01925*0.6370+0.03245*0.2583+0*0.1047)/(0.58*0.6370+0.58*0.2583+0*0.1047)=0.03976<0.1,通过了组合一致性检验。

5.1.4排名

由上述组合权重可知，各因素对食品安全的影响程度由强到弱依次为

0.4058

0.1677

0.1645

0.1047

0.0721

0.0667

0.0186

细菌污染

食品添加剂导致的危害

病毒危害

重金属中毒等

环境污染导致的危害

寄生虫危害

天然存在的化学危害

5.2问题二的求解

（1） 层次抽样模型:

主要食品包括肉制品、乳制品、酿造食品及高蛋白食品等，针对部分主要食品进行模拟抽检。首先针对部分主要食品——乳制品中的酸奶讨论，进行分层。第一层为：蒙牛、伊利、光明、百万庄园、三元、娃哈哈六个品牌的批次数，然后对每层随机抽样，得到样本。分层抽样图如下：

（2） 部分参数的假设：

①各品牌生产批次序列为：

②置信度取95%，根据对其他参数的讨论，按照ISO质量管理体系和AQL抽样标准得到实际中抽检概率在8%~10%之间能够达到抽检效果，标准差取值范围在0.037～0.042之间，并在此区间内等距选取六个数进行计算，六个数分别为，d取0.01。

  由标准正态分布表查表可知：=1.64。

其他参数的计算：

N =

  

         =440 （批）

 所以由有：

                 ；

                

（3） 分层抽样率的计算

由（9）计算得到各层的抽样率如下表：

酸奶品牌

蒙牛

伊利

光明

百万庄园

三元

哇哈哈

抽样率

0.0813

0.0835

0.0857

0.0879

0.0901

0.0923

假设t=1.5,p=60,Pmax=6000，Tmax=176, =11

项目数为2.5641≈3项。

误差：

=440/6=73.3

==

=10.8013

==1.6530

误差百分比：1.6530/39=4.24%<5%

权重

=（0.2175，0.2175，0.0725，0.0725，0.0435，0.0435，0.0362，0.0311，0.2175，0.0242，0.0242）

排序：三聚氰胺,维生素A,维生素B11，维生素B1、维生素B2、铁、锌、维生素B5、钙、水分、蛋白精、硫氰酸钠

随及抽检三个项目，前三项抽检概率最大，分别为三聚氰胺,维生素A,维生素B11..

5.3 问题三的求解与结果分析

5.3.1 问题三的求解

部分参数的假设：

各品牌生产批次序列为：

②置信度取95%，d取0.01。根据对其他参数的讨论，按照ISO质量管理体系和AQL抽样标准得到实际中抽检概率在8%~10%之间能够达到抽检效果，标准差取值范围在0.0325～0.0365之间，并在此区间内选取12个数进行计算，12个数分别为

（5）其他参数的计算：

N =

  

         =880（批）

所以由有：

             ；

         

             

         

用MATLAB对函数进行优化可得：

项目数为1.0127≈2项。

误差：

=880/12=73.3

=

=8.4782

==0.9106

误差百分比：0.9106/79=1.15%<5%

权重：

=10，CI=0,CR=0,通过了一致性检验（程序见附件6）

=（0.2779，0.2779，0.0926，0.0926，0.0556，0.0556，0.0463，0.0397，0.0309，0.0309）

排序：三聚氰胺,维生素A,维生素B11，维生素B1、维生素B2、铁、锌、维生素B5、过氧化苯甲酞、钙、水分

随及抽检三个项目，前三项抽检概率最大，分别为三聚氰胺,维生素A,维生素B11

5.3 问题四的求解与结果分析

用MATLAB（程序见附件7）做出函数当n=1、n=2、n=3、n=4的图形，如图示：

由图形可得：

当取=4时，即跟踪抽检四次时，

图号

效果

费用

时间

图1

165

8250

330

图2

113

5650

226

图3

93

4650

186

图4

85

4250

170

当取=3时，即跟踪抽检三次时，

图号

效果

费用

时间

图1

145

7050

290

图2

108

5400

216

图3

92

4600

184

图4

85

4250

170

由表中内容可得：L与的函数为,共需跟踪抽检三次，共抽检113个批次。

六 模型的评价

6.1 模型一的评价

模型一采用的AHP方法是一种定性与定量相结合的、系统的、层次化的分析方法，能够解决涉及到社会、经济、人文等因素的决策、评价、分析、预测等问题。但这种方法同样具有局限性，它只能从原有方案选优，不能生成新方案，且它的判断结果都是比较粗糙的，不适于精度要求很高的问题，另外模型中的成对比较矩阵人的主观因素的作用较大，可能有时难以为众人接受。

6.2 模型二的评价

 模型二采用的是分层抽样的方法，它对不同品牌不同批次的产品进行抽检，建立了样本分配率、样本方差、总体抽样率、分层抽样率等函数方程，再次利用统计学原理对检测误差进行分析。这种抽样调查的方法适用性特别强，对任何特征分层来比较明显的系统均可以采用这种方法进行抽样。而且这种可靠性较高。

七 模型的推广

本文中所建立的模型不仅对于解决题目中的问题具有很强的实用性，而且具有很好的推广性。例如，本文运用的AHP方法适用于其他类似一类选优排序问题、合理安排住房问题等都具有很强的适用性。本文针对问题二所建立的模型具有较强的普适性，能够对各类主要食品进行精确度比较搞的抽检，而且对批量生产的各种零件、衣服等的质量抽检提供了一种较为简单高效的方法，具有较强的研究意义。

八 解决问题的可行办法和建议

近年来，我国食品工业始终保持持续快速的增长趋势。据有关资料介绍，我国食品安全状况得到有效改善和提高。具体表现在国家抽检结果显示，2008年上半年我国粮食加工品、副食调味品、肉制品、酒类、饮料饮品、休闲食品33类3288家企业生产的3813种食品抽样合格率为98.4%，同比提高4个百分点，比2006年提高近9个百分点。
　　 但是，目前我国食品安全状况距离广大群众的要求还存在不小差距，主要存在五大问题：

一是菌落指数超标和农药残留超标；

二是存在违法滥用非食品用添加剂情况；

三是部分企业食品安全保障管理体系不完善，检测系统不健全，易发生质量事故；

四是食品流通领域经营秩序不规范，假冒伪劣食品屡禁不绝；

五是消费者食品安全知识和维权教育亟待加强。

经过分析，我们发现食品安全问题存在的原因主要有：

1　、生产经营者法制意识淡薄是产生食品安全问题的根源。如个别经营户见利忘义，为一些劣质食品提供了可乘之机。比如食用油、饼干、糕点等到食品国家实行生产许可证制度，但粮油店特别是农村流动经营户大量经销大桶散装油，有的掺杂使假并游击作战，执法部门难以跟踪监管，消费者上当受骗的情况时有发生；

2　、食品安全法律体系结构不科学、有法难依。

3　、食品安全监督管理体制存在弊端，导致对食品安全问题监管不力。比如一些食品经销店，特别是农村小店大量购进小作坊“三无”产品，并销售霉变过期食品；

4　、食品安全标准和监测手段落后，不能适应监管要求。主要表现在食品安全标准技术指标落后，且交叉重叠，质监局制定质量标准，各行业主管部门制定行业标准，卫生部制定卫生标准，难免使食品标准政出多门，指标不统一。食品检测是保障食品安全的重要手段，检验设备、检测人员分散在卫生、质监、农业等部门，难以满足现有的食品安全监督综合执法的需要，如流通领域是食品安全监管的重要环节，执法部门检查食品，识别假冒伪劣商品，基本上是借助经验，依靠眼看手摸，看是否是“三无”产品，很难发现食品内在质量上的问题。近年来虽配备了食品快速检测设备，但检测的食品种类有限，不能适应食品市场监管要求，严重影响了工作效率。

通过查阅相关文献和资料，我们提出一些解决食品安全问题的对策和建议，希望可以为有关主管部门对食品的抽检和广大市民对食品安全问题的了解以及抵制存在安全问题的食品提供一些参考和帮助。

针对食品安全存在的问题，我们应做好以下几方面工作：

1、加强宣传教育，提高全民素质；

2、建立健全和完善食品安全管理法规体系和标准体系；

3、加大监督力度，坚决打击制假售假等违法行为。对一些严重违法违规生产、经营不合格食品的企业及责任人要从严从重予以查处，形成一种高压态势和震慑力量；

4、加强自律意识，充分发挥行为协会的作用；

5、加强部门协调配合，共筑食品安全防线。食品安全是关系到千家万户身体健康的基本民生问题，涉及多个监管部门，任务繁重，需用各部门配合协作，齐抓共管，为此，要树立部门协作意识，加强与各有关部门的沟通协调，通过制度与机制上的创新，达到长效监管的目标，共同推动工作的开展。因为只有这样，才能真正有效的避免食品安全问题对社会造成严重危害。

九 参考文献

【1】刘卫国 MATLAB程序设计教程，中国水利水电出版社，2006年3月第三版

【2】韩中庚 数学建模方法及其应用，高等教育出版社，2005年6月第一版

【3】食品安全体系的抽样理论研究，李兵,陈国华 ,杨涤尘 ,朱宁，湖南人文科技学院数学与应用数学系,湖南娄底 417000;2.桂林电子科技大学数学与计算科学学院 ,广西桂林 541004

【4】居民出行调查抽样率模型，石飞，陆建，王炜，葛宏伟 （东南大学 交通学院，江苏 南京210096）