皮亚诺公设

1.什么是公设（Mathematics] postulate ）

 

所谓公理或公设，指的是某门学科中不需要证明而必须加以承认的某些陈述或命题，即“不证自明”的命题。一门学科如果被表示成公理的形式，那么它的所有命题就可以由这些公理或公设逻辑地推证出来。如果我们把一门学科比作一幢大楼，那么该学科的公理或公设就像大楼的地基，整幢大楼必须以它为基础而建立起来。

著名的欧几里德的《几何原本》中的5个公设：
1. 由任意一点到任意一点可作直线。 
2. 一条有限直线可以继续延长。 
3. 以任意点为心及任意的距离可以画圆。 
4. 凡直角都相等。 
5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小於二直角，则这二直线经无限延后在这侧相交。

 

2.皮亚诺公设

皮亚诺公设，是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。 

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下： 

①1是自然数；  

②每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；  

③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c；  

④1不是任何自然数的后继数；  

⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公设，保证了数学归纳法的正确性)  

若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。 

更正式的定义如下： 

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)： 

X是一集合， x为X中一元素，f是 X 到自身的映射 

x 不在 f的值域内. 

f 为一单射.  

若A 为X的子集并满足:  

x属于 A, 且 

若 a 属于 A, 则 f(a) 亦属于 A 

则 A = X. 

该公理与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设: 
1.P(自然数集)不是空集 
2.P到P内存在a->a直接后继元素的一一映射 
3.后继元素映射像的集合是P的真子集 
4.若P任意子集既含有非后继元素的元素,又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与P重合. 
能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理! 
例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理(数学归纳法)的理论依据. 

初看皮亚诺(Peano)公理，我觉得它的描述是直接的、平庸的。我原以为，对于最基本的自然数的抽象，它一定是深刻的。甚至是有新意的。我感到失望的是，皮亚诺公理这样来描述自然数集合N：

(1)   元素1ÎN；

(2)   N中的每一个元素n都有一个确定的后继元素（记作n⁺）；

(3)   若n⁺=m⁺，则n=m；

(4)   没有以1为后继元素的元素；

...

想到我们早已熟悉的自然数集N，皮亚诺关于自然数的几个公设，尤其是前四个公设，我觉得一点新意也没有。难道这也称得上是简洁深刻的概括？1属于N，并且1是第一个元素。有了1，就有1的后继数2；而有了2，就有2的后继数3；有了3，就有3的后继数4......，如此类推。这些不是在就事论事，说出人所共知的事实吗？我确实看不出有什么深刻的地方。

 

但是，时隔一段时间之后，对自然数问题的再次关注，我开始理解皮亚诺公理了。这从皮亚诺公理中使用了后继元素的概念说起。什么是后继？好像事先并没有给出说明或定义，就使用了这个术语。我力图去掉这种带有先导性的用词。我看出，公设(2)其实只是说，对于N中的每一个元素n，都有N中的一个确定的元素m（m就是此前所说的后继数n⁺）与之对应。因此，这是一种映射关系啊。那么n与m有什么关系呢？这条公设对此没有作出任何限制。然后我们看到下一条公设：“若n⁺=m⁺，则n=m”。我明白了，这两条公设合起来就是表达了一种（从N到N子集上的）一一映射关系啊！比如，他可能想建立这样的映射Next：

1 – 2

2 – 3

3 – 4

4 – 5

...

但是，等等，仅仅根据这两条公设是达不到这样的目的的。比如下面也是一种可能的一一映射：

1 – 1

2 – 2

3 – 3

4 – 4

这样就引起了我们的深思。如何能够保证得到象第一种那样的映射呢？我注意到第一种映射有这样的一个特点：Next(n)¹n。

 

我因此考虑，如果在公设(2)和(3)的基础上把Next(n)¹n作为一个公设加上，那么是否就能达到目的了呢？

 

但是，我很快认识到，即使保证Next(n)¹n也是不够的，比如：

1 – 2

2 – 3

3 – 1

这是一种有“环”出现的情形。这种情形既满足一一映射，又满足Next(n)¹n，但却不是我们想要的。如何让环不能出现呢？我被难住了。此时，我看到了皮亚诺公理中公设(1)和(4)的作用了。1ÎN，我们推断Next(1)¹1，因为N中没有以1为后继的元素。我们记2=Next(1)。既然2ÎN，接下来我们考虑Next(2)。首先Next(2)¹1，因为N中没有以1为后继的元素。其次Next(2)¹2，因为若Next(2)=2，就和Next(1)=2冲突，违背一一映射关系，或者说违背公设(3)。因此我们记3=Next(2)。既然3ÎN，我们推断Next(3)¹1，Next(3)¹2（因为Next(1)=2），Next(3)¹3（因为Next(2)=3）。因此我们记4=Next(3)，......如此类推下去，我们就得到N中包含1,2,3,4,5,6,......。

 

至此我们看出来了，皮亚诺公设(1),(2),(3),(4)已经把自然数集合的轮廓给框出来了。显然，皮亚诺的几个公设正在越来越精确地刻画自然数集合。根据上面的推理，一个有限集合是不能满足皮亚诺公理的。

 

一个有限集合不可能满足皮亚诺前四个公设，还可以凭着直觉这样推断：Next是从N到N的子集S的一一映射，而1ÏS。我们知道一个有限集合不可能与它的真子集产生一一映射。故N不可能是有限集合。

 

皮亚诺的前四个公设虽然给出了自然数集合的轮廓，但是还存在一个集合规模，或者说大小的问题。满足这四个公设的元素可以一个接一个地枚举出来：1,2,3,4,5,6,...。可以说，除1之外的其它元素，都是“由1产生的”。那么如何让我们期望中的自然数集合，仅仅是由这些由1产生的元素所组成，而不再包含别的？

 

公设(1)-(4)并没有限制可能存在不能枚举的元素。比如，一个包含1,2,3,4,5,6....但可能大得多的无限集。我们要寻求给出进一步的限制，使得我们期望中的自然数集合，是满足皮亚诺前四个公设的“最小规模”的集合。我马上可以找到反例。设N₀是那个我们直觉上熟知的自然数集合，即N₀={1,2,3,4,5,6....}。今有集合N=N₀ U {a,b,r}。在集合N₀上，保持原有的Next映射关系不变，在集合{a,b,g}上，我们定义Next映射关系：Next(a)=a，Next(b)=b，Next(g)=g。那么，N满足皮亚诺前四个公设。但这个N却不是我们想要的。

 

这个任务由皮亚诺公设(5)来完成。

(5)   N的任何子集S若满足：a) 1ÎS  b)"xÎS，Next(x)ÎS，那么就有S=N。

 

这个公设是对自然数集合大小，或者说规模的一个恰当而核心的描述。从这个公设我们看出，N的任何真子集都不能满足皮亚诺前四个公设，唯有N自己才能满足。从而这给我们一个感觉：N是满足皮亚诺前四个公设的最小必要的集合。这就暗示，N是仅仅由1,2,3,4,5,6,...这些从1产生而来的自然数组成的集合。按照这种有序的产生过程，N中的每一个元素都在确定的位置出现。

 

关于公设(5)

公设(5)是如何使得N成为满足(1)-(4)的“最小集合”？它竟然做到了？！（我有一种“用自身来定义自身”之感，这让我迷惑，因为自身怎么能判断出自己是最小的？有待澄清）

能否以其它的方式表达“最小集合”的要求？- 探讨公设5的其它表述方式。

有没有可能存在两种不同基数的集合比如M和N，都满足皮亚诺公理（尤其是第五公设）？

 

在公设(5)之前，我曾经考虑：如何保证，N中除1以外，其它元素都有前驱？或者问，保证了N中除1之外，其它元素都有前驱，那么这样的集合是否就是我们希望的自然数集合？首先我看到，仅仅有前面那四个公设，是不能保证N中除1以外，其它元素都有前驱的。为此我举了这样一个反例。设N₁={1,2,3,4,...}，N₂={a,b,r,...}（假设有无穷个的符号）。在N₁上定义映射关系Next如下：

1 -> 2

2 -> 3

3 -> 4

......

在N₂上定义Next映射关系如下：

a -> b

b -> g

......

今取N=N₁ U N₂。N上的映射关系Next定义为保持N₁和N₂上各自的映射关系不变，那么这样的集合N显然满足皮亚诺公理的前四个条件。但是这个集合却有两个元素都没有前驱：1和a。其次我看到，即使保证了N中除1以外，其它元素都有前驱，那么这样的集合也未必是我们期望的自然数集合。为此再举一个例子，这个例子只需对前面的例子稍加改变即可。令N₂={a,b,g}，N₁保持不变，而N仍为N₁和N₂之并。N₁上的映射保持不变，而N₂上的映射定义如下：

a -> b

b -> g

g -> a

那么这样的集合N显然皮亚诺公理的前四个条件。并且确实，这个集合中除了元素1以外，其它元素都有前驱。但是，这个集合显然不是我们期望的自然数集合 – 它包含“多余”的元素。如果我们用公设(5)来衡量，就会发现该集合违背了这个公设。在后面我们也将证明，有了公设(5)的保证，那么N中除1外，其它元素都有前驱。

 

最后我注意到，我们并不是证明了存在自然数集合N。皮亚诺自然数公理只是给出了成为自然数集合的条件，并没有证明存在满足这些条件的集合。在大多数情况下，我们只是假定存在满足这些条件的集合，这样的集合就称为自然数集合，就记为N。这是一种公理模式的方法。在公理集合论中，应该也有对于自然数集合的描述，并可能可以对皮亚诺公理进行论证。

第五条为何不规定为“对于1之外的任意元素n，均存在元素m使得m+=n”？我认为这样更为直观。这样形式的定义方式在逻辑方面有什么缺陷吗？或者存在什么不便之处而被数学家们回避？

这个问题，实际上不难找到反例，反例表明如果第五个条件换成“任给n属于集合N，若n不是1，则存在m，使得m+ = n”，则这样的N不是我们想要的自然数集合。例如这样一个集合N = N0 U M，其中N0和M如下：

N0 = {1,2,3,4,5,......}

M = {a,b,c}

在N0上我们定义为我们所熟悉的后继关系，即1+ = 2, 2+ = 3, 3+ = 4，如此等等。

在M上我们定义后继关系：a+ = a，b+ = b，c+ = c。这完全可以。

那么这样的集合N是满足那四个条件，加上你的这个第五个条件的。但这样的集合N却不是我们想要的。其实在文中也给出了一个反例.

公理化思想——关系至上

　　我常喜欢说的一句话是“要经得起追问”。什么是追问？询问推理背后的原因。数学大概是最经得起追问的一门学科。在不断的追问过程中，我们把推理的每一步以及其依赖得前提都说清楚，我们从最初的命题跨越到一系列的定理，有时逻辑链还追溯到一些小引理上去。是的，你可以打破砂锅问到底，不断的追问为什么，于是最终我们停留在一些公认的基础事实上，这就是公理。
　　小学的时候，我的语文老师向我们介绍了哥德巴赫猜想和陈景润的故事。实际上她说不出哥德巴赫猜想的内容是什么，她以为那个猜想就是要证明1+1=2。不过受她的影响，也就是那时候，我开始追问了，什么是1，什么是2？为什么1+1=2？这个问题可以被回答的。这就是自然数的皮亚诺公理：

• 0是一个自然数；
• 每个自然数a都有一个后继自然数，记作S(a)；
• 不存在后继为0的自然数；
• 不同的自然数有不同的后继。即若a≠b，则S(a)≠S(b)；
• 如果一个命题对自然数0成立，并且假定它对自然数n成立时，能推出它对n的后继仍成立，则原命题对所有自然数都成立。

　　
　　对有程序设计基础的同学来说，这个公理实际上刻画了一个单向链表的模型，当然是无限长的。其他人则可以认为是一个无限长的火车。我要强调的一点是，0只是一个符号，后继只是一个名词。我们不要被概念化的名词和符号限制住，否则公理化就本末倒置了，这些名词和符号正是由公理规定的。是的，公理化既没有回答我们0是什么，也没有告诉我们，1是0的后继。正确的逻辑顺序是这样的：先有了0是一个自然数，那么由公理2，0就有一个后继S(0)，于是这个后继被人为的记成1。当然你也可以记成别的符号，但这不是关键，不管那是什么符号，它本质上和1没有区别。公理化不规定每个自然数的“后继”是如何被确定的，但是这个“后继”必须满足关于“后继”的第2，3，4条公理。

　　有了自然数以后，我们可以用递规来定义加法：（这里的S(x)仍然代表x的后继）

• a + 0 =a
• a + S(b) = S(a+b)

　　于是，小时候的谜团解开了：1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=2.

　　我知道大家对于上面“什么是1”，“什么是0”的回答一定不满意，因为那根本没有回答嘛。但是，我还会继续下去，尝试着回答“什么是点”，“什么是直线”这个更难回答的问题。
　　什么是点，这个问题大概也只有数学家会去思考了。有些人会说，平面几何里，点就是一个很小的实心圆。这个回答太不好了，不仅因为很小是一个模糊的概念，更糟的是，他把更复杂的“圆”扯了进来。如果我们追问，那什么是圆呢？估计他们就要歇菜了。
　　欧几里德用了如下的一组公理来规范平面几何：

• 　两个点决定一直线。
• 　线段能无限延伸成直线。
• 　给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
• 　所有的直角都相等。
• 　过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线不相交。

　　这组公理也许又让大家失望了，它并没有回答什么是点，什么是直线。公理1在没有定义点和直线的情况下，直接给出了他们的关系：两点决定一直线。在这里，“决定”这个词就和之前的“后继”一样，我们不知道（或者说不关心）两点是如何决定一条直线的，只是，我们承认有某种方式来决定，仅此而已。于是换句话说，点，直线，都只是抽象的对象而已。这五条公理虽然很大程度上有着形象化的描述（比如延伸，直角），但是，经过一定的规范，我们完全可以把它们作为一个抽象的对象去思考，完全脱离几何背景来思考，证明出相同的定理。

　　第5条公理在几何学里有不寻常的地位，对它的质疑直接导致了非欧几何的产生。这里我将给大家介绍一个不同于欧氏几何的全新的平面几何学，它满足以上的4条公理，但不满足第5条公理。

　　在这个问题上，我不会用很严谨的语言来描述，我尽量选择最通俗的说法解释这个模型。

　　假设有一个平面。现在我们画上一条直线，我们不妨把它叫地平线。地平线把平面分成上下两个部分。
　　
　　首先，上半平面的点叫“点”。
　　很遗憾，在新的几何里，地平线上的点和下半平面的点，我们不承认它们是“点”。

　　“直线”有两种：一种是垂直于地平线的射线，另一种是圆心在地平线上，任意长为半径的上半圆周。

如图就是两条“直线”

　　
　　需要注意的是，“直线”是由“点”构成的，既然地平线上的点不是“点”，那么射线或者是上半圆周作为新的“直线”都是不包含地平线上的那个端点的。我们可以验证一下，两“点”决定一“直线”仍然成立！

　　接下来我们跳过对距离的度量（因为这要牵扯到复杂的代数运算），直接介绍平行的概念：因为这里的“平行”和“不相交”不再等同（实际上这里的“平行”要求两条“直线”可以充分接近却不相交），所以我认为这里用图代替文字来说明“平行”会更简洁。

过“直线”外一“点”，有且仅有两条“直线”与已知直线“平行”

这是另一种“平行”的情况，也可以作出两条“直线”平行于已知“直线”

　　很明显，过直线外一点可以作两条平行线的概念意味着“平行”不再具有传递性。平行线被认为是不相交的，在这里它们也是不相交的，虽然它们看起来交于地平线上的一点，但是一开始就已经说过了，地平线上的点不是“点”。

　　“角度”被定义为两条“直线”交点处切线的夹角。那么，“垂直”就有了：“角度”为90度的两“直线”“垂直”。

如图：两“直线”“垂直”

  　关于这个几何模型就介绍到这里，实际上以上是双曲几何中的“庞加莱半平面模型”。不知道大家对于“什么是点”，“什么是直线”是否有了新的认识呢？是的，“点”和“直线”都只是一些名词而已，重要的是它们之间的关系决定了它们可以是什么。

　　实际上，自然数已经被人们用集合论的语言重新定义过了，而欧几里德平面几何也通过解析几何的方式重新进行了定义（并且使之更完善）。不过，这种从关系出发，不牵绊于名词的想法在数学中是极其重要的。文末，大家还关心“什么是点”，“什么是直线”吗？管它的，只要你满足公理，爱是什么是什么。