SPFA算法

 

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。

算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。

这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法

SPFA——Shortest Path Faster Algorithm，它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单：

设Dist代表S到I点的当前最短距离，Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞，只有Dist[S]=0，Fa全部为0。

维护一个队列，里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。

每次迭代，取出队头的点v，依次枚举从v出发的边v->u，设边的长度为len，判断Dist[v]+len是否小于Dist[u]，若小于则改进Dist[u]，将Fa[u]记为v，并且由于S到u的最短距离变小了，有可能u可以改进其它的点，所以若u不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空，也就是S到所有的最短距离都确定下来，结束算法。若一个点入队次数超过n，则有负权环。

SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k，有办法证明对于通常的情况，k在2左右。

SPFA算法（Shortest Path Faster Algorithm），也是求解单源最短路径问题的一种算法，用来解决：给定一个加权有向图G和源点s，对于图G中的任意一点v，求从s到v的最短路径。 SPFA算法是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算，他的基本算法和Bellman-Ford一样，并且用如下的方法改进： 1、第二步，不是枚举所有节点，而是通过队列来进行优化 设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。 2、同时除了通过判断队列是否为空来结束循环，还可以通过下面的方法： 判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过V次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）。

SPFA算法有两个优化算法 SLF 和 LLL： SLF：Small Label First 策略，设要加入的节点是j，队首元素为i，若dist(j)<dist(i)，则将j插入队首，否则插入队尾。 LLL：Large Label Last 策略，设队首元素为i，队列中所有dist值的平均值为x，若dist(i)>x则将i插入到队尾，查找下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，则将i出对进行松弛操作。 SLF 可使速度提高 15 ~ 20%；SLF + LLL 可提高约 50%。 在实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法。

下面是我自己写的模板

 void Spfa()

 {

     for (int i(0); i<num_town; ++i)//初始化

     {

         dis[i] = MAX;

         visited[i] = false;    

     }

     queue<int> Q;

     dis[start] = 0;

     visited[start] = true;

     Q.push(start);

     while (!Q.empty()){

         int temp = Q.front();

         Q.pop();

         for (int i(0); i<num_town; ++i)

         {

             if (dis[temp] + road[temp][i] < dis[i])//存在负权的话，就需要创建一个COUNT数组，当某点的入队次数超过V(顶点数)返回。

             {

                 dis[i] = dis[temp] + road[temp][i];

                 if (!visited[i])

                 {

                     Q.push(i);

                     visited[i] = true;    

                 }        

             }            

         }

         visited[temp] = false;            

     }    

 }

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SPFA算法

为了简便，我们约定图中不存在负权回路，这可以通过一次拓扑排序知道。SPFA实际是Bellman-Ford算法的一种队列实现，用一个数组来保存最短路径的估计值，初始时将源加入队列，每次从队列中取队头元素，并对所有与其相邻的结点进行松弛操作，如果该点的估计值有所调整，且该点不在队列中，则入队，如此反复，直到队空。

定理1：SPFA算法采用的动态优化方法，能够使得路径估计值变得越来越小，优化过程是正确的。

证明：算法中每一步都是从该队取出点来优化其它各点。现假设算法结束时计算的结果不是最短路径，即从原点到某些点还存在着更短的路径，而算法规定：只要存在着比D[j]更短的路径，即D[j]>D[w]+l(w,j)，那么D[j]就一定要被优化且j点就要入队，算法就不会结束。所以上述假定不成立，算法的执行会使路径估计值变得越来越小，逼近直至达到最短路径，优化过程正确。

定理2：SPFA算法的优化过程是收敛的，不会形成无限循环，算法能够正常结束。

证明：在任意一个具有循环结构的算法或程序中，所谓不收敛就是死循环。在SPFA算法中，循环控制是由队列是否为空为条件的，若队列不为空，继续循环；若队列为空，循环终止，算法结束。在SPFA算法的循环中，既有从队列取出来进行优化的队减操作，也有被优化后的点入队的队增操作，则要注意，某任意顶点j入队是有先决条件的，亦即D[j]>D[w]+l(w,j)，j点入队的同时，D[j]也就被优化取值为较小的D[w]+l(w,j)，这样使得各点的路径值D[j]变得越来越小，直到最终优化为最短路径，此时就不会再有任何点被继续优化的可能，因而就不会再有顶点入队，仅有队减操作直到队空循环终止。

算法描述

输入设L是用来表示有向图G=(V,E)的邻接表，邻接表元素l是有向图各边的权值，输入各边的权值l(v,k)建立邻接表L.

输出设D数组是记录当前从源点到其余各点的最短路径的值，初始化时D数组的每个元素都为最大值，经过SPFA算法D数组输出各点的最短路径值。

算法的形式算法描述及注释：

1    begin      //算法开始

2    for each v in V do

             Begin

                    For each k∈L[v] do read (l(v,k)); //读入每条边的权值到邻接表

                    QM[v]=0;      //初始化每个顶点是否在队里的标志数组

                    D[v]=MAX；//将最短路径数组初始化为最大值

             End;

3          queue<-v0;

QM[v0]=1;                  //源点v0入queue队

4    D[v0]=0；                  //源点到源点本身的路径值赋值为零

5    while queue not empty do

             Begin

                    W<-queue;    //从queue中取出一个点w

                    QM[w]=0;     //w点出队后，其标志数组元素改为零，表示w点不在队列

6                                      for each j∈L[w] do

7                if D[j]>D[w]+l(w,j) then

                           begin

8                                D[j]=D[w]+l(w,j)  //判断经过w点到j点的路径是比原来的路径D[j]更短后，对j点的路径进行优化

                                  If QM[j]==0 then

                                  Begin

                                         Queue<-j;

                                         QM[j]=1;       //当j点不在队列里，j入队，并且将QM[j]标志置为1表示j已入队

                                  End

                           End

            End;

9          for each v in V do

begin

             write(D[v]);

end; //优化完成后，D数组存放的就是从源点到各点的最短路径值，可以输出结果

10   end.

定理3 对于任意的有向图G=(V,E)，设边的总数为e，顶点的总数为n，SPFA算法的时间复杂性为O(e).（！！！）

证明：SPFA算法首先进行初始化，初始化主要是读入有向图的每一条边的权值，显然需用的时间为O(e)，初始化后，SPFA算法首先将源点入队，然后从队列里取出队首的一个顶点作为w点，这里没有像Dijkstra算法那样从V-S集合中选一个具有最小D[w]的w点，所以省去了选择所花费的时间，SPFA算法的时间复杂性主要是由while循环所决定的。由于采用邻接表作为图的数据结构，第(6)句就是对一个点的表所连接的所有边进行优化，而每一个点的表长是与该点的出度有关。因为n个点的出度总和就是有向边的边数e，那么对于一个点来说，其平均出度就是e/n，所以第(6)句的执行时间平均为O(e/n)。                                                 

       设第(5)句while循环的次数为m，即为顶点入队的次数，若平均每一个点入队一次，则m=n;若平均每个点入队两次，则m=2n，算法编程后实际运行试算情况表明，m一般没有超过2n。事实上，虽然顶点入队次数m是一个事先不易分析出的数，但它确是一个随图的不同而略有不同的常数，一旦图确定，各边的权值确定，源点确定，m也就是一个确定的常数，所以SPFA算法的时间复杂性为

               T=O(m*e/n)=O(m/n*e)              令K=m/n           则          T=O(k*e)

因为K是一个常数，所以SPFA算法的时间复杂性为O(e)。（证毕）