Catalan数

来源：互联网发布：java访问oracle数据库编辑：程序博客网时间：2024/04/30 08:11

HDU 1134( Game of Connections Catalan数的第三种应用！)

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Posted by: spoiler in: Catalan数的各种应用

给定N*2个点，求分别将其两两相连，每个点仅链接一次，而且每条线段不相交！

题目分析：

这又是Catalan数

直接套公式吧，其实证明目前我还没会，嘎嘎

公式：

f[n]= $\sum_{k=0}^{n-1}{{f[n-1-k]*f[k]}}$ ;

直接计算就可以了，这里设计到大数的运算，我是用JAVA写的，不想用C模拟了呵呵

代码：

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importjava.io.*;
importjava.util.*;
importjava.math.*;
publicclass Main {
    publicstatic void main(Stringargs[]){
        List list=newArrayList(102);
        BigInteger f=BigInteger.valueOf(1);
        list.add(f);
        list.add(f);
        f=BigInteger.valueOf(2);
        list.add(f);
        for(inti=3;i<=100;i++){
            BigInteger sum=BigInteger.valueOf(0);
            for(intj=0;j<i;j++){
                sum=sum.add( ((BigInteger)list.get(i-1-j)).multiply( ((BigInteger) list.get(j) )) );
            }
            list.add(sum);
        }
        Scanner cin=newScanner(System.in);
        intn;
        while(cin.hasNext()){
            n=cin.nextInt();
            if(n==-1)
                break;
            System.out.println(list.get(n));
        }
    }
}

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HDU 1131(Count the Trees)Catalan求树的构造方法数

244

Posted by: spoiler in: Catalan数的各种应用

题目大意：上面有一篇关于二叉树的构造方法数，这里只是普通的树，所以不用考虑次序。

Catalan数可以表示二叉树的构造方法数，Catalan数= $\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$ 但是在这里我们不需要考虑次序，所以我们要乘以A(N,N);也就是N种元素的排列方法也就是N！

所以这里的方法数= $\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$ *A（N，N）；

化简一下：

(n+2)*(n+3)*(n+4)*...*(2*n)

但是我这里直接把各个部分直接求出来的嘿嘿，因为用JAVA写方便呀所以都无所谓的啦

代码：

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importjava.io.*;
importjava.util.Scanner;
importjava.math.BigInteger;
publicclass Main{
            publicstatic BigInteger C(intn,intm){
                BigInteger sum=BigInteger.valueOf(1);
                for(inti=n;i>n-m;i--)
                    sum=sum.multiply(BigInteger.valueOf(i));
                for(intj=1;j<=m;j++)
                    sum=sum.divide(BigInteger.valueOf(j));
                returnsum;
            }
            publicstatic BigInteger jie(intn){
                BigInteger sum=BigInteger.valueOf(1);
                for(inti=1;i<=n;i++)
                    sum=sum.multiply(BigInteger.valueOf(i));
                returnsum;
            }
            publicstatic void main(Stringargs[]){
                intn;
                Scanner cin=newScanner(System.in);
                while(cin.hasNext()){
                    n=cin.nextInt();
                    if(n==0)
                        break;
                BigInteger t1=C(2*n,n);
                BigInteger t2=jie(n);
                t1=t1.divide(BigInteger.valueOf(n+1));
                t1=t1.multiply(t2);
                System.out.println(t1);
                }
            }
}

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HDU 1133(Buy the Ticket Catalan 数的另一种应用，非常重要！)

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Posted by: spoiler in: Catalan数的各种应用

题目大意：M+N个人排队买票，票的单价是50￥，每个人只能买一张。 M个人拿50的去买，N个人拿100的去买，然后悲剧的是售票处开始的时候没有钱，所以如果拿100块买票人前面的拿50块买票的人小于或者等于用100块买票的人，这种排队方式就不合法，也就是不能顺利全部都买到票（因为没零钱找了）！

题目分析：

这是一个Catalan数的非常经典的应用，买票问题，首先我们用"0"表示用50块买票的人，用“1”表示用100块买票的人，然而假设m=4,n=3,的一个序列是：0110100显然，它不合法，然后我们把他稍微变化一下：把第一个不合法的“1”后面的所有数0位为1， 1位为0；这样我们得到了另一个序列：0111011，显然他也不是合法的，但是在这里我们关注的不是他合不合法！只是说明每个不合法的都有一个这样的序列跟他一一对应！

所以我们计算公式就是：合法的排列方式=所有排列方式-非法排列方式

我们这里非法排列方式的计算就是：( $C_{m+n}^{m}$ - $C_{m+n}^{m+1}$ )*M!*N!，然而在这题，因为每个人都是不同的，所以还要乘以 M！*N！

所以得出最终方程：

F（N）=( $C_{m+n}^{m}$ - $C_{m+n}^{m+1}$ )*M！*N！；

然后再化简一下;

F(N)=(M+N)! * (M-N+1)/(M+1)

大数运算模拟，

分别有：

大数阶乘

大数乘小数

大数除小数。

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAX 201
usingnamespacestd;
intfactor[205][MAX]={0};
intsim[201]={0};
intmultiply(ints[],intMax,intb){//the static number can't be a canliang
    intans=0,i;
    for(i=Max;i>=1;i--){
        ans+=s[i]*b;
        s[i]=ans%10000;
        ans=ans/10000;
    }
    return0;
}
intdiv(ints[],intMax,intb){
    intans=0,t,i;
    for(i=1;i<=Max;i++){
        t=ans*10000+s[i];
        s[i]=t/b;
        ans=t%b;
    }
    return0;
}
intgetfactor(){
    inti;
    factor[0][MAX-1]=factor[1][MAX-1]=1;
    for(i=2;i<=203;i++){
        memcpy(factor[i],factor[i-1],MAX*sizeof(int));//this has a falut that i have replace memcpy by strcpy!
        multiply(factor[i],MAX-1,i);
    }
    return0;
}
intoutput(int*s,intk){
    inti=1;
    printf("Test #%d:\n",k);
    while(s[i]==0&&i<MAX)
        i++;
    printf("%d",s[i++]);
    for(;i<MAX;i++)
        printf("%04d",s[i]);
    printf("\n");
    return0;
}
intmain(){
    intm,n,i,k=1;
    getfactor();
    while(scanf("%d %d",&m,&n),m+n){
        memcpy(sim,factor[m+n],sizeof(int)*MAX);
        /*for(i=1;i<=MAX;i++){
            for(int j=1;j<MAX;j++)
                cout<<factor[i][j];
            cout<<endl;
        }*/
        if(n>m){
            printf("Test #%d:\n",k++);
            printf("0\n");
                        //别忘记了 判断这种情况，
                       //当初为了这个BUG找了好苦，5555....
            continue;
        }
        multiply(sim,MAX-1,m-n+1);
        div(sim,MAX-1,m+1);
        output(sim,k);
        k++;
    }
    return0;
}

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HDU 1130（Catalan数的应用）

214

Posted by: spoiler in: Catalan数的各种应用

题目大意：就是给你1到N个数，让你求他能构成多少种二叉树；

题目分析：这里又是一种组合数学里的重要知识点！Catalan数的应用。

如果数据比较小，建议模拟这个公式：

Catalan的原始递推公式就是这个，这个是专门针对给出节点，有多少二叉数构造方法的方程。

$C_{N}^{M}$ = $C_{N-1}^{M}$ + $C_{N-1}^{M-1}$

用二维数组模拟，当前元素的值等于他正上方的值+左边的值；

当然所消耗的内存是很大的：M*N*4 Bytes,所以数字小才能模拟50以内比较保险哈哈{^_^}！

然后大数的就只有应用到大数的算法啦，反正我认为C++里的模拟太费事了，所以今天第一次也学习写

JAVA里的大数的运算了，建议您也学学，嘿嘿，方便啊。

首先分析一下思路：

这个方程进一步化简：

F( N )= $\sum_{k=1}^n{{F( N-1-K )*F(K)}}$ （k=0....N-1）

根据这个公式进行计算就可以了

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importjava.math.*;
importjava.util.*;
publicclass Main{
    publicstatic void main(Stringargs[]){
        List list=newArrayList(101);
        BigInteger f=BigInteger.valueOf(1);
        list.add(f);
        list.add(f);
        for(inti=2;i<=100;i++){
            f=BigInteger.valueOf(0);
            for(intj=0;j<i;j++)
                f=f.add(((BigInteger)list.get(j)).multiply( (BigInteger)list.get(i-1-j)));
            list.add(f);
        }
            Scanner cin=newScanner(System.in);
            intinputInt=0;
            while(cin.hasNext()){
                inputInt=cin.nextInt();
                System.out.println(list.get(inputInt));
            }
    }
}