图(1)——图的定义和基本概念

   概述

图(Graph)是一种比线性表和树更为复杂的数据结构。

线性结构：是研究数据元素之间的一对一关系。在这种结构中，除第一个和最后一个元素外，任何一个元素都有唯一的一个直接前驱和直接后继。 

树结构：是研究数据元素之间的一对多的关系。在这种结构中，每个元素对下(层)可以有0个或多个元素相联系，对上(层)只有唯一的一个元素相关，数据元素之间有明显的层次关系。

图结构：是研究数据元素之间的多对多的关系。在这种结构中，任意两个元素之间可能存在关系。即结点之间的关系可以是任意的，图中任意元素之间都可能相关。

 图的基本概念

  图的定义和术语

一个图(G)定义为一个偶对(V,E) ，记为G=(V,E) 。其中： V是顶点(Vertex)的非空有限集合，记为V(G)；E是无序集V&V的一个子集，记为E(G) ，其元素是图的弧(Arc)。

将顶点集合为空的图称为空图。其形式化定义为：

G=(V ，E)

V={v|vÎdata object}

E={<v,w>| v,wÎV∧p(v,w)}

P(v,w)表示从顶点v到顶点w有一条直接通路。

弧(Arc) ：表示两个顶点v和w之间存在一个关系，用顶点偶对<v,w>表示。通常根据图的顶点偶对将图分为有向图和无向图。

有向图(Digraph)： 若图G的关系集合E(G)中，顶点偶对<v,w>的v和w之间是有序的，称图G是有向图。

在有向图中，若 <v,w>ÎE(G) ，表示从顶点v到顶点w有一条弧。 其中：v称为弧尾(tail)或始点(initial node)，w称为弧头(head)或终点(terminal node) 。

无向图(Undigraph)： 若图G的关系集合E(G)中，顶点偶对<v,w>的v和w之间是无序的，称图G是无向图。 

在无向图中，若"<v,w>ÎE(G) ，有<w,v>ÎE(G) ，即E(G)是对称，则用无序对(v,w) 表示v和w之间的一条边(Edge)，因此(v,w) 和(w,v)代表的是同一条边。

例1：设有有向图G1和无向图G2，形式化定义分别是：

G1=(V1 ，E1)

V1={a,b,c,d,e}

E1={<a,b>,<a,c>, <a,e>,<c,d>,<c,e> ,<d,a>,<d,b>,<e,d>}

G2=(V2 ，E2)

V2={a,b,c,d}

E2={(a,b), (a,c), (a,d), (b,d), (b,c), (c,d)}

它们所对应的图如图所示。

完全无向图：对于无向图，若图中顶点数为n ，用e表示边的数目，则e Î[0，n(n-1)/2] 。具有n(n-1)/2条边的无向图称为完全无向图。完全无向图另外的定义是：

对于无向图G=(V，E)，若"vi，vj ÎV ，当vi≠vj时，有(vi ,vj)ÎE，即图中任意两个不同的顶点间都有一条无向边，这样的无向图称为完全无向图。

完全有向图：对于有向图，若图中顶点数为n ，用e表示弧的数目，则eÎ[0，n(n-1)] 。具有n(n-1)条边的有向图称为完全有向图.完全有向图另外的定义是：

对于有向图G=(V，E)，若"vi，vjÎV ，当vi ≠vj时，有<vi ,vj>ÎE∧<vj , vi >ÎE ，即图中任意两个不同的顶点间都有一条弧，这样的有向图称为完全有向图。

有很少边或弧的图（e<n㏒n）的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

权(Weight)：与图的边和弧相关的数。权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。

子图和生成子图：设有图G=(V，E)和G’=(V’，E’)，若V’ÌV且E’ÌE ，则称图G’是G的子图；若V’=V且E’ÌE，则称图G’是G的一个生成子图。

顶点的邻接(Adjacent)：对于无向图G=(V，E)，若边(v,w)ÎE，则称顶点v和w 互为邻接点，即v和w相邻接。边(v,w)依附(incident)与顶点v和w 。

对于有向图G=(V ，E)，若有向弧<v,w>ÎE，则称顶点v “邻接到”顶点w，顶点w “邻接自”顶点v ，弧<v,w> 与顶点v和w “相关联” 。

顶点的度、入度、出度：对于无向图G=(V，E)， "viÎV，图G中依附于vi的边的数目称为顶点vi的度(degree)，记为TD(vi)。

显然，在无向图中，所有顶点度的和是图中边的2倍。 即   ∑TD(vi)=2e      i=1, 2, …, n ，e为图的边数。

对有向图G=(V，E)，若"vi ÎV ，图G中以vi作为起点的有向边(弧)的数目称为顶点vi的出度(Outdegree)，记为OD(vi) ；以vi作为终点的有向边(弧)的数目称为顶点vi的入度(Indegree)，记为ID(vi) 。顶点vi的出度与入度之和称为vi的度，记为TD(vi) 。即

TD(vi)=OD(vi)+ID(vi) 

路径(Path)、路径长度、回路(Cycle) ：对无向图G=(V，E)，若从顶点vi经过若干条边能到达vj，称顶点vi和vj是连通的，又称顶点vi到vj有路径。

对有向图G=(V，E)，从顶点vi到vj有有向路径，指的是从顶点vi经过若干条有向边(弧)能到达vj。或路径是图G中连接两顶点之间所经过的顶点序列。即  

Path=vi0vi1…vim ，vijÎV且(vij-1, vij)ÎE   j=1,2, …,m 或  

Path=vi0vi1 …vim ，vijÎV且<vij-1, vij>ÎE  j=1,2, …,m 

路径上边或有向边(弧)的数目称为该路径的长度。

在一条路径中，若没有重复相同的顶点，该路径称为简单路径；第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路(环)；在一个回路中，若除第一个与最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路(简单环)。

连通图、图的连通分量：对无向图G=(V，E)，若"vi ，vj ÎV，vi和vj都是连通的，则称图G是连通图，否则称为非连通图。若G是非连通图，则极大的连通子图称为G的连通分量。 

对有向图G=(V，E)，若"vi ，vj ÎV，都有以vi为起点， vj 为终点以及以vj为起点，vi为终点的有向路径，称图G是强连通图，否则称为非强连通图。若G是非强连通图，则极大的强连通子图称为G的强连通分量。 

“极大”的含义：指的是对子图再增加图G中的其它顶点，子图就不再连通。

生成树、生成森林：一个连通图(无向图)的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部n个顶点和只有足以构成一棵树的n-1条边，称为图的生成树，如图所示。

关于无向图的生成树的几个结论：

 ◆ 一棵有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边；

 ◆ 如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图；

 ◆ 如果多于n-1条边，则一定有环；

 ◆ 有n-1条边的图不一定是生成树。

有向图的生成森林是这样一个子图，由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点。

有向树是只有一个顶点的入度为0 ，其余顶点的入度均为1的有向图，如图7-3所示。

网：每个边(或弧)都附加一个权值的图，称为带权图。带权的连通图(包括弱连通的有向图)称为网或网络。网络是工程上常用的一个概念，用来表示一个工程或某种流程，如图7-4所示。

图的抽象数据类型定义

图是一种数据结构，加上一组基本操作就构成了图的抽象数据类型。图的抽象数据类型定义如下：

Graph{

数据对象V：具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。

数据关系R：R={VR}

VR={<v,w>|<v,w>| v,wÎV∧p(v,w) ，<v,w>表示从v到w的弧，P(v,w)定义了弧<v,w>的信息 }

基本操作P： 

添加顶点

添加边

获得顶点的个数

获得边的条数

移除顶点

移除边

……

}

图的接口Graph

package datastructure.graph;/** * 图的接口 * @author luoweifu * */public interface Graph {/** * 添加顶点 * @param v */public void addVex(Object v);/** * 添加边 * @param v1 第一个顶点 * @param v2 第二个顶点 * @param weight 权值 */public void addEdge(Object v1, Object v2, double weight);/** * 添加边* @param v1 第一个顶点 * @param v2 第二个顶点 * @param info 边信息 * @param weight 权值 */public void addEdge(Object v1, Object v2, Object info, double weight);/** * 置空图 */public void clear();/** * 获得顶点v的第一个邻接结点 * @param v 顶点 * @return 顶点v的第一个邻接结点 */public Object getFirstVertex(Object v);/** * 在图G中寻找v1结点的邻接结点v2的下一个邻接结点 * @param v1 顶点 * @param v2 v1的一个邻接结点 * @return 邻接v1的在v2后的一个结点 */public Object getNextVertex(Object v1, Object v2);/** * 获得顶点的个数 * @return */public int getVertexSize();/** *获得边的条数 * @return */public int getEdgeSize();/** * 移除顶点 * @param v 顶点 */public void removeVex(Object v);/** * 移除边 * @param v1 顶点1 * @param v2 顶点2 */public void removeEdge(Object v1, Object v2);/** * 深度优先遍历 * @param o 遍历的初始顶点 * @return 遍历的结果 */public String dfs(Object o);/** * 深度优先遍历 * @param o 遍历的初始顶点 * @return 遍历的结果 */public String bfs(Object o);/** * 打印图的各顶点 * @return */public String printGraph();}

边的接口Edge

package datastructure.graph;public abstract class Edge implements Comparable{protected double weight;protected Object info;/** * 构造函数 */public Edge() {this.weight = 0;}/** * 构造函数 * @param weight 权值 */public Edge(double weight) {this.weight = weight;}public Edge(Object info, double weight) {this.weight = weight;this.info = info;}/** * 获取权值 * @return 权值 */public double getWeight() {return weight;}/** * 设置权值 * @param weight 权值 */public void setWeight(double weight) {this.weight = weight;}/** * 获取边的信息 * @return 边的信息 */public Object getInfo() {return info;}/** * 设置边的信息 * @param info　边的信息 */public void setInfo(Object info) {this.info = info;}/** * 获取边的第一个顶点 * @return 第一个顶点 */public abstract Object getFirstVertex();/** * 获取边的第二个顶点 * @return　第二个顶点 */public abstract Object getSecondVertex();}