最大公约数&最小公倍数探讨

求解最大公约数和最小公倍数，应该算是很基本的问题了。也正因为这样，第一篇算法类博客就来研究研究它了。

麻雀虽小，五脏俱全。 也能从中学点东西。

下面谈谈我对这问题的认识。

首先，看似是2个不同的问题，其实，就是一个算法。即求最大公约数，因为，通过观察，我们有以下结论。

a，b的最大公约数是m，最小公倍数是n。  则有以下结论：   a*b=m*n。

如4,6 -----   最大公约数2，最下公倍数12   满足4*6 = 2*12.

下面通过公式证明：

假设x=abc， y=bcd，

 则最小公倍数为abcd， 最大公约数为bc

最小公倍数为abcd=最大公约数为bc*x/bc*y/bc =xy/bc。

 也就是说 最小公倍数=两数之积/最大公约数

所以，我们通过求最大公约数就能解决这两个问题了。   下面具体分析如何求解最大公约数。

①辗转相除法（又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老有效的算法。）

1.输入两整数a和b。

2.a%b得余数r

3.如果r=0，则b为两数的最大公约数。

4.如果r≠0，则另a=b，b=r，再从第二步执行。

5.直到r=0，此时b为两数的最大公约数。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>void main(){    int a, b, r;    scanf("%d%d",&a,&b);    r = a % b;    while (r!=0)    {        a = b;        b = r;        r = a%b;    }    printf("%d",b);}

例如，求15,25的最大公约数。

15除25余15------- 25除15余10--------15除10余5-----------10除5余0. 故最大公约数为5.

②更相减损术（我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个最大公约数的算法）

有两整数a和b：

1. 若a>b，则a=a-b

2. 若a<b，则b=b-a

3. 若a=b，则a（或b）即为两数的最大公约数

4. 若a≠b，则再回去执行①

5. 直到a=b。此时a即为两数的最大公约数

#include<stdio.h>void main ( ){    int a,b;    scanf("%d%d",&a,&b);    while (a!=b)    {        if(a>b)            a-=b;        else            b-=a;    }    printf("%d",a);}

求98,63的最大公约数：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公约数等于7。

③穷举法

1. 首先对数据m和n判断大小，小的赋值给smaller，大的赋值给larger

2. index索引从2开始到smaller遍历，发现有没有数据可以同时被两者整除，有则更新数据

3. 循环结束后，获取最大的公约数

int GetMaxCommonDivide(int n, int m)  {      int index;      int smaller;      int larger;      int value;      assert(n && m);        if(n > m){          larger = n;          smaller = m;      }else{          larger = m;          smaller = n;      }        value = 1;      for(index = 2; index <= smaller; index++){          if(0 == (smaller % index) && 0 == (larger % index))              value = index;      }        return value;  } 

比如4,6

首先  smaller=4，larger=6。  index=2，  smaller%index==0 并且 larger%index==0， 故最大公约数为index=2.

 
到此，常见的，较好的3种算法都已经介绍好了。在实际应用中，我们的选择，还是视情况而定。下面做个小小的比较。

更相减损术和辗转相除法的主要区别在于前者所使用的运算是“减”，后者是“除”。从算法思想上看，两者并没有本质上的区别，但是在计算过程中，如果遇到一个数很大，另一个数比较小的情况，可能要进行很多次减法才能达到一次除法的效果，从而使得算法的时间复杂度退化为O(N)，其中N是原先的两个数中较大的一个。相比之下，辗转相除法的时间复杂度稳定于O(logN)。

算法一说，各有各的好处，各有各的使用对象。希望，在充分掌握这三种方法的基础上，加以选择。

下面补充一个多数最大公约数的算法。  原理类似，利用辗转相除法。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>void main(){    int a, b, i, r, n;    scanf("%d",&n);   // 数的个数    scanf("%d",&b);    for (i=0;i<n-1;i++)    {        scanf("%d",&a);        r = a % b;        while (r!=0)        {            a = b;            b = r;            r = a%b;        }    }    printf("%d",b);}

今天就先写到这里。  希望，对你，对我自己，都能有所帮助。

如有错误，欢迎指正。