错排问题-递推原理及容斥原理

错排问题

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n）表示，那么M(n-1）就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有M(n-2）种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有M(n-1）种方法；

综上得到

M(n)=(n-1）[M(n-2）+M(n-1）]

特殊地，M⑴=0,M⑵=1

下面通过这个递推关系推导通项公式：

为方便起见，设M(k)=k!N(k),(k=1,2，…，n)

则N⑴=0,N⑵=1/2

n>=3时，n!N(n)=(n-1）（n-1）！N(n-1）+(n-1）！N(n-2）

即 nN(n)=(n-1）N(n-1）+N(n-2）

于是有N(n)-N(n-1）=-[N(n-1）-N(n-2）]/n=(-1/n)[-1/(n-1）][-1/(n-2）]…（-1/3）[N⑵-N⑴]=(-1）^n/n!

因此

N(n-1）-N(n-2）=(-1）^(n-1）/(n-1）！

N⑵-N⑴=(-1）^2/2!

相加，可得

N(n)=(-1）^2/2!+…+(-1）^(n-1）/(n-1）！+(-1）^n/n!

因此

M(n)=n![(-1）^2/2!+…+(-1）^(n-1）/(n-1）！+(-1）^n/n!]

可以得到

错排公式为M(n)=n！（1/2!-1/3!+…..+(-1）^n/n!)

容斥原理

正整数1、2、3、……、n的全排列有n！种，其中第k位是k的排列有（n-1）！，当k取1、2、3、……、n时，共有n*（n-1）！种排列，由于是错排，这些排列应排除，但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为

M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1）^n*n!/n!=sigma(k=2~n) (-1）^k*n!/k!

即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1）^n/n!]

注：sigma表示连加符号，（k=2~n）是连加的范围