欧拉函数

欧拉函数

Ｅ（ｎ）表示小于n的所有正数，与n互质的数的个数

１     当ｐ为素数时，显然Ｅ（ｐ）= ｐ－１

２     当ｎ＝ｐ＾ｋ　（ｐ为素数）时，Ｅ（ｐ＾ｋ）＝ｐ＾ｋ－ｐ＾（ｋ－１）

         证明：小于ｎ的数一共有ｐ＾ｋ－１个，其中不与ｐ互质的有ｐ＊１，ｐ＊２，ｐ＊３，…ｐ＊（ｐ＾（ｋ－１）－１）（显然有ｐ＾（ｋ－１）－１个），则Ｅ（ｎ）＝（ｐ＾ｋ－１）－（ｐ＾（ｋ－１）－１）＝ｐ＾ｋ－ｐ＾（ｋ－１）；

３     任何一个整数ｎ都可以表示为ｎ＝（ｐ１＾ａ１）＊（ｐ２＾ａ２）＊…＊（ｐｎ＾ａｎ）

         若ａｂ互质，Ｅ（ａｂ）＝Ｅ（ａ）＊Ｅ（ｂ），欧拉函数为积性函数

         Ｅ（ｎ）＝Ｅ（ｐ１＾ａ１）＊Ｅ（ｐ２＾ａ２）＊…＊Ｅ（ｐｎ＾ａｎ）

＝（ｐ１＾ａ１－ｐ１＾（ａ１－１））＊（ｐ２＾ａ２－ｐ２＾（ａ２－１））＊…＊（ｐｎ＾ａｎ－ｐｎ＾（ａｎ－１））

＝（ｐ１＾ａ１＊ｐ２＾ａ２＊..＊ｐｎ＾ａｎ）＊（（１－１／ｐ１）＊（１－１／ｐ２）＊…＊（１－１／ｐｎ））

＝ｎ＊（１－１／ｐ１）＊（１－１／ｐ２）＊…＊（１－１／ｐｎ）

４     Ｅ（ｐ＾ｋ）＝ｐ＾ｋ－ｐ＾（ｋ－１）＝（ｐ－１）＊ｐ＾（ｋ－１）

         Ｅ（ｐ＾（ｋ－１））＝ｐ＾（ｋ－１）－ｐ＾（ｋ－２）＝（ｐ－１）＊ｐ＾（ｋ－２）

         当ｋ＝１时，Ｅ（ｐ）＝ｐ－１

         当ｋ＞１时，Ｅ（ｐ＾ｋ）＝Ｅ（ｐ＾（ｋ－１））＊ｐ

         由上式，当ｐ为素数时

         若ｐ是ｎ的约数，Ｅ（ｎ＊ｐ）＝Ｅ（ｎ）＊ｐ

         否则，Ｅ（ｎ＊ｐ）＝Ｅ（ｎ）＊Ｅ（ｐ）＝Ｅ（ｎ）＊（ｐ－１）

／／求ｎ的欧拉函数值，模板

#include"stdio.h"int phi(int n){int i;int ans;ans=1;for(i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0){ans*=(i-1);n/=i;while(n%i==0){ans*=i;n/=i;}}}if(n!=1)ans*=n-1;return ans;}int main(){int n;while(scanf("%d",&n)!=-1)printf("%d\n",phi(n));return 0;}