斐波纳契数列 线段树的维护

像一般的数列维护一样，这题也差不多。有一个数列a，修改操作是将a[i] .. a[j]的值都加上一个d，询问操作就有点不同，给出i和j，求出a[i] * fib(0) + a[i + 1] * fib(1) + a[i + 2] * fib(2) + ... + a[j] * fib(j - i)模上一个数的结果。其中fib就是斐波纳契数列，即fib(0) = fib(1) = 1，对于fib(i)（> 1）， fib(i) = fib(i -1) + fib(i - 2)。

如果这个线段树要支持某个操作，那必须要实现合并的操作，也就是在线段树的某个结点，它如何将两个儿子的信息合并成一个。对于这题，就需要实现一个：

已知a[i] * fib(0) + a[i + 1] * fib(1) + a[i + 2] * fib(2) + ... + a[j] * fib(j - i)或者保存多一些需要的信息，怎样求出a[i] * fib(0 + k) + a[i + 1] * fib(1 + k) + a[i + 2] * fib(2 + k) + ... + a[j] * fib(j - i + k)。

斐波纳契数列有一个奇特的性质，尝试如下的运算，得出的序列还是斐波纳契数列。

a  1  1  2  3  5  8  13  ....

b  1  2  3  5  8  13  21 ....

将同一个位置的相加（c[i] = a[i] + b[i]），得：

c  2  3  5  8  13  21  34 ....

再加加d[i] = b[i] + c[i]，得：

d 3  5  8  13  21  34  55

如此看来，我们可以设：

X =  a[i] * fib(0) + a[i + 1] * fib(1) + a[i + 2] * fib(2) + ... + a[j] * fib(j - i)；

Y =  a[i] * fib(1) + a[i + 1] * fib(2) + a[i + 2] * fib(3) + ... + a[j] * fib(j - i + 1)；

那么：

X + Y  = a[i] * fib(2) + a[i + 1] * fib(3) + a[i + 2] * fib(4) + ... + a[j] * fib(j - i + 2)；

X + 2Y = a[i] * fib(3) + a[i + 1] * fib(4) + a[i + 2] * fib(5) + ... + a[j] * fib(j - i + 3)；

2X + 3Y = a[i] * fib(4) + a[i + 1] * fib(5) + a[i + 2] * fib(6) + ... + a[j] * fib(j - i + 4)；

3X + 5Y = a[i] * fib(5) + a[i + 1] * fib(6) + a[i + 2] * fib(7) + ... + a[j] * fib(j - i + 5)；

....

fib(k - 2) * X + fib(k - 1) * Y = a[i] * fib(0 + k) + a[i + 1] * fib(1 + k) + a[i + 2] * fib(2 + k) + ... + a[j] * fib(j - i + k)   （k > 1），k = 0，k = 1的情况额外处理，fib数列预处理。

这样，我们就可以实现维护了，需要保存两个信息，就是上述的X，Y。接着就是信息传递的操作，也就是整段都加上d。

也就是已知a[i] * fib(0) + a[i + 1] * fib(1) + a[i + 2] * fib(2) + ... + a[j] * fib(j - i)，求(a[i]+ d) * fib(0) + (a[i + 1] + d) * fib(1) + (a[i + 2] + d) * fib(2) + ... + (a[j]  + d) * fib(j - i)。

通过拆分得：a[i] * fib(0) + a[i + 1] * fib(1) + a[i + 2] * fib(2) + ... + a[j] * fib(j - i) +d * fib(0) + d * fib(1) + d * fib(2) + ... + d * fib(j - i)

a[i] * fib(0) + a[i + 1] * fib(1) + a[i + 2] * fib(2) + ... + a[j] * fib(j - i) + d * (fib(0) + fib(1) + fib(2) + ... + fib(j - i))。

fib的数列和有个定理：fib(0) + fib(1) + fib(2) + ... + fib(i) = fib(i + 2) - 1。这样又可以实现信息传递的操作了。问题到此就解决了。此外，我们可以从fib的矩阵乘法中联想到合并信息的方法，本质是一样的。

对于一些比较难维护的数据，可以通过列公式等方法找出其中的规律，哪怕没有什么规律，我们也能从中得到一些启发。还可以想想另一些方法，即使它们看起来是不能解决问题的。

#include <cstdio>#include <iostream>using namespace std;typedef long long ll;typedef pair<ll, ll> pii;const ll mod = 1000000000LL;const int N = 200007;int n, m;ll fib[N], X[N], Y[N];int nnode = 1;struct Node{Node *lch, *rch;int lo, hi;ll flag;pii dat;inline int mi(){return (lo + hi) >> 1;}inline int size(){return hi - lo;}}node[N << 1], *root = &node[0];inline pii Calc(pii a, int k){pii res;res.first = (a.first * (k == 1 ? 0LL : fib[k - 2]) % mod + a.second * fib[k - 1] % mod) % mod;res.second = (a.first * fib[k - 1] % mod +a.second * fib[k] % mod) % mod;return res;}pii operator + (pii const &a, pii const &b) {return make_pair((a.first + b.first) % mod, (a.second + b.second) % mod);}void Build(Node *p, int le, int ri){p -> lo = le;p -> hi = ri;p -> flag = 0LL;if (le + 1 == ri){scanf("%I64d\n", &p -> dat.first);p -> dat.second = p -> dat.first;p -> lch = p -> rch = NULL;}else {int mi = p -> mi();p -> lch = &node[nnode ++];p -> rch = &node[nnode ++];Build(p -> lch, le, mi);Build(p -> rch, mi, ri);p -> dat = p -> lch -> dat + Calc(p -> rch -> dat, mi - le);}}void Update(Node *p, ll flag){p -> flag += flag;p -> dat.first = (flag * (fib[p -> size() + 1] - 1LL) + p -> dat.first) % mod;p -> dat.second = (flag * (fib[p -> size() + 2] - 2LL) +p -> dat.second) % mod;}void Modify(Node *p, int le, int ri, ll delta){if (le <= p -> lo && ri >= p -> hi)Update(p, delta);else {if (p -> flag) {Update(p -> lch, p -> flag);Update(p -> rch, p -> flag);p -> flag = 0LL;}int mi = p -> mi();if (le < mi) Modify(p -> lch, le, ri, delta);if (ri > mi) Modify(p -> rch, le, ri, delta);p -> dat = p -> lch -> dat + Calc(p -> rch -> dat, p -> lch -> size());}}pii Ask(Node *p, int le, int ri){if (le <= p -> lo && ri >= p -> hi)return p -> dat;if (p -> flag) {Update(p -> lch, p -> flag);Update(p -> rch, p -> flag);p -> flag = 0LL;}int mi = p -> mi();if (le < mi && ri > mi)return Ask(p -> lch, le, ri) + Calc(Ask(p -> rch, le, ri), p -> lch -> hi - max(le, p -> lch -> lo));else if (le < mi) return Ask(p -> lch, le, ri);else return Ask(p -> rch, le, ri);}void Init(){scanf("%d%d\n", &n, &m);fib[0] = fib[1] = 1;for (int i = 2; i < n; i ++)fib[i] = (fib[i - 1] + fib[i - 2]) % mod;Build(root, 0, n);}void Solve(){while (m --){int tmp, le, ri;scanf("%d%d%d", &tmp, &le, &ri);if (tmp == 2){scanf("\n");printf("%I64d\n", Ask(root, le - 1, ri).first);}else {ll di;scanf("%I64d\n", &di);Modify(root, le - 1, ri, di);}}}int main(){freopen("fib.in", "r", stdin);freopen("fib.out", "w", stdout);Init();Solve();return 0;}