用线段树维护树的直径

目的

      有时候我们需要快速回答一棵子树的直径，或者去掉一棵子树后形成的树的直径。普通的找直径方法是两遍bfs，时间O(n)，这里的方法用O(log)的时间回答。

操作

首先

      我们做出一棵树的dfs序，然后以dfs序为轴建立线段树，每个区间维护直径 len，以及直径的两个端点 x 和 y。
      会有这么一个问题：你按线段树划分区间，那一个区间内的点可能不连通啊！！！其实没问题的，因为我们最后询问的是一棵（子）树，意思是我们询问的东西肯定是连通的。所以操作时候不联通你就当它连通就好啦。
      还会有这么一个问题：直径可能不止一条啊！！！随便记录一条即可，下文解释。

最关键是这个合并

      区间内只有1个点的时候 len=0，x、y 等于自己。
      现在考虑区间的合并。左区间有两个直径端点，右区间也有两个直径端点，这四个点中的最远点对，就是新区间的直径。
      注意我们这里用的距离是原树的距离（已经说过我们强行让一个区间的点是连通的了）。

      简单证明一下。
      我们看作是 x 所在的连通块通过边（x, y）连向 y 所在的连通块。
      若新直径不经过（x, y），则就是原来的两条直径取 max。
      若新直径经过（x, y），就要考虑 x 延伸到哪儿、y 延伸到哪儿了。由直径的定义可知，x 能走到的最远点之一是 x 所在连通块直径的端点，y 同理。因此这时新直径的两个端点都是旧直径的端点。

      （这个证明也适用于增量法求树的直径，即我给一棵树加一个新点，那么新直径必有一端点是旧直径的端点）
      （注意只能是树，普通图没有这些性质）

所以

      有了这个神奇的合并操作，我们就可以求树中任意一个联通块（子树或是去掉一个子树什么的）的直径啦！

注意事项

      我们求点对距离时会用到lca，然而线段树已经有一个log了，如果你碰到题目要卡两个log，请用rmq求lca。

例题

例题1
例题2