HDU 4606 Occupy Cities 解题报告

题目

2013 多校训练 第一场

题意：

有n个城市，m个边界线，p名士兵。现在士兵要按一定顺序攻占城市，但从一个城市到另一个城市的过程中不能穿过边界线。士兵有一个容量为K的背包装粮食，士兵到达一个城市可以选择攻占城市或者只是路过，如果攻占城市，就能装满背包。从城市到城市消耗的粮食等于两城市的距离，如果距离大于士兵当前的背包的容量，士兵就不能走这条路。士兵可以选择空降一次，空降不耗费。求p个士兵攻占完所有城市所需要的最小背包容量k。

解法：

很容易想到二分答案。

先用线段求交和floyed求出两个城市之间的最短距离(即两城市路上不攻占任何城市的最小花费)，两个城市(u,v)如果从u到v需要跨过边境线或者城市u在v之后被攻占其距离就设为inf。

现在问题变成p个士兵攻打n个城市，如果某两个城市间距离小于mid就可达，如何判断能否攻占完n个城市？

利用二分图匹配，最小路径覆盖：在一个P*P的有向图中，在图中找一些路经，使之覆盖了图中的所有顶点,且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联，最小路径=点数-最大匹配数。只需要判断最小路径覆盖是否小于等于p即可，因为最小路径覆盖即攻占完所有城市所需要的最少士兵数。

代码：

#include #include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>using namespace std;#define maxn 105const double EPS=1e-6;const int INF=1000000000;int n,m,p;int ord[maxn],result[maxn];bool state[maxn];double dis[maxn*3][maxn*3];int dcmp(double x){    if (fabs(x)<EPS) return 0;    return x<0?-1:1;}struct Point{    double x,y;    Point(){}    Point(double a,double b):x(a),y(b){}    Point operator+(const Point &a)const{ return Point(x+a.x,y+a.y); }    Point operator-(const Point &a)const{ return Point(x-a.x,y-a.y); }    void input()    {        scanf("%lf%lf",&x,&y);    }}C[maxn*3];struct Line{    Point a,b;}L[maxn];typedef Point Vector;double Cross(Vector a,Vector b){    return a.x*b.y-a.y*b.x;}double Dot(Vector a,Vector b){    return a.x*b.x+a.y*b.y;}double Dist(Vector a){    return sqrt(Dot(a,a));}bool Ispinter(Point a,Point b,Point c,Point d){    double c1=Cross(b-a,c-a),c2=Cross(b-a,d-a),           c3=Cross(d-c,a-c),c4=Cross(d-c,b-c);    return dcmp(c1)*dcmp(c2)<0&&dcmp(c3)*dcmp(c4)<0;}int find(int x,double key){    for (int i=1;i<=n;i++)        if (!state[i]&&dis[x][i]<key+EPS)        {            state[i]=1;            if (!result[i]||find(result[i],key))            {                result[i]=x;                return 1;            }        }    return 0;}int solve(double key){    int ans=0;    memset(result,0,sizeof(result));    for (int i=1;i<=n;i++)    {        memset(state,0,sizeof(state));        if (find(i,key)) ans++;    }    return n-ans;}int main(){    //freopen("/home/christinass/code/in.txt","r",stdin);    int cas,d,num;    scanf("%d",&cas);    while (cas--)    {        scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);        for (int i=1;i<=n;i++) C[i].input();        num=n;        for (int i=1;i<=m;i++)        {            L[i].a.input(),L[i].b.input();            C[++num].x=L[i].a.x,C[num].y=L[i].a.y;            C[++num].x=L[i].b.x,C[num].y=L[i].b.y;        }        for (int i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%d",&d);            ord[d]=i;        }        for (int i=1;i<=num;i++)            for (int j=1;j<=num;j++) dis[i][j]=INF;        for (int i=1;i<=num;i++)            for (int j=i+1;j<=num;j++)            {                bool flag=1;                for (int k=1;k<=m&&flag;k++)                    if (Ispinter(C[i],C[j],L[k].a,L[k].b)) flag=0;                if (flag) dis[i][j]=dis[j][i]=Dist(C[i]-C[j]);            }        for (int k=1;k<=num;k++)            for (int i=1;i<=num;i++)                for (int j=1;j<=num;j++)                    dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);        for (int i=1;i<=n;i++)            for (int j=1;j<=n;j++)                if (ord[i]>=ord[j]) dis[i][j]=INF;        double l=0,r=INF;        while (l<r-EPS)        {            double mid=(l+r)/2;            if (solve(mid)<=p) r=mid;            else l=mid;        }        printf("%.2f\n",(l+r)/2);    }    return 0;}

小结：

二分图有关的其他性质：

最小点覆盖=最大匹配。给定一个二分图G=(V,E)，定义一个点如果被覆盖，那么称所有与这个点相邻的弧被覆盖，求最少需要覆盖多少个点才能覆盖所有的边。

最大独立集=顶点数-最大匹配。独立集：图中两两互不连通的顶点构成的集合。

最小路径覆盖=顶点数-最大匹配。