Floyd算法

Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创

始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。

通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。

从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用

同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶

点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路

径。

采用的是(松弛技术)，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3);

其状态转移方程如下：

 map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}

map[i,j]表示i到j的最短距离

K是穷举i,j的断点

map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。

当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理，比如没有map[i,k]这条路

算法过程

1，从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

2，对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是更新它。

把图用邻接距阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=无穷大。

定义一个距阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。

把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则

D[i,j]=k。

在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。

比如，要寻找从V5到V1的路径。根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，

说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。

时间复杂度

O(n^3)

优缺点分析

Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简

单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。

优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单

缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。

概述

Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。

算法描述

a)　初始化：D[u,v]=A[u,v]

b)　For k:=1 to n

For i:=1 to n

For j:=1 to n

If D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] Then

D[I,j]:=D[I,k]+D[k,j];

c)　算法结束：D即为所有点对的最短路径矩阵

算法实现

C语言

#include<stdio.h>

#define MAXV 100

#define INF 32767

#include "graph.h"

//extern void DispMat(MGraph g);

void DispMat(MGraph g)

{

int i,j;

for(i=0;i<g.n;i++)

{

for(j=0;j<g.n;j++)

if(g.edges[i][j]==INF)

printf("%3s","∞");

else

printf("%3d",g.edges[i][j]);

printf("\n");

}

}

void ppath(int path[][MAXV],int i,int j)

{

int k;

k=path[i][j];

if(k==-1) return;

ppath(path,i,k);

printf("%d,",k);

ppath(path,k,j);

}

void DisPath(int A[][MAXV],int path[][MAXV],int n)

{

int i,j;

for(i=0;i<n;i++)

for(j=0;j<n;j++)

if(A[i][j]==INF)

{

if(i!=j)

printf("从%d到%d没有路径");

}

else

{

if(i<j)

{

printf("从%d到%d的路径为:",i,j);

printf("%d,",i);

ppath(path,i,j);

printf("%d",j);

printf("\t路径长度为：%d\n",A[i][j]);

}

}

}

void Floyd(MGraph g)

{

int A[MAXV][MAXV];

int path[MAXV][MAXV];

int i,j,k,n=g.n;

for(i=0;i<n;i++)

for(j=0;j<n;j++)

{

A[i][j]=g.edges[i][j];

path[i][j]=-1;

}

for(k=0;k<n;k++)

{

for(i=0;i<n;i++)

for(j=0;j<n;j++)

if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))

{

A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];

path[i][j]=k;

}

}

printf("\n输出最短路径：\n");

DisPath(A,path,n);

}

void main()

{

int i,j,u=0;

MGraph g;

double A[51][51];

for(i=0;i<51;i++)

{

for(j=0;j<51;j++)

{

A[i][j]=INF;

}

}