[Math] 排列组合 笔记 [大三四八九月实习]

1两个基本原理

1.1加法原理

加法原理：完成一个事件可由n种方法完成。每种方法n_j[ j > 0 && j < n + 1 ，j为正整数 ]下又包含着m_j种子方法，且所有子方法中无重复的方法，再者任选一种子方法都可以完成任务。则完成此事件共有的方法为N          = 。称得出完成此事件共有方法数N的过程为加法原理。

 

1.2乘法原理

         乘法原理：完成一个事件需n个步骤来完成。每个步骤下有m_j[j > 0 && j < n + 1，j为正整数 ]种方法，按照步骤顺序皆在每个步骤中任选一种方法皆可完成任务。则完成此事件共有的方法数为N     =。称得出完成此事件的方法数的过程为乘法原理。

 

2 排列

         将具有一定个数的对象按照一定规律摆放^-^。

 

(1) 全排列

         全排列就是将某集合中所有的元素都给予排列。

(2) 选排列

         选排列就是在某集合中选出一部分的元素来进行排列。

 

2.1线排列

线排列的计算式由乘法原理得来。

如将3个不同颜色的球放到具有编号1，2…10的盒子中，则有多少种放法。

分析:此操作由三步完成：放第一个球；放第二个球；放第三个球。只有经历此三个步骤才能完成整个事件。

第一步：放第一个球，有10种方法。

第二步：放第二个球，有9种方法。

第三步：放第三个球，有8种方法。

则由乘法原理放完此三个球到具有不同编号的盒子中共有N          = 10 * 9 * 8种方法。

问题：为什么不采用以下步骤来进行乘法原理过程？[每个球由两个步骤组成 ]

第一步：在三个球中选一个球3种方法，再将此球放入到10个盒子中共10种方法。则放第一个球共有N1         = 3 * 10种方法。

第二步：在剩下的两个球中选出一个球共2种方式，将选出球放入剩余的9个盒子中共有N2        = 2 * 9种方法。

第三步：将剩余的最后一球放入剩余的8个盒子中共有N3   = 8种方法。

则完成整个事件共有N          = N1 * N2 * N3即N         = 10 * 9 * 8 * 3 * 2 * 1种方法。

由此种步骤得来的结果比上一种得来的要多一个球数的全排列。因为在刚刚的排列过程中的确也多算了一次球数的全排列数。因为放第一个球，放第二个球，放第三个球每个语句都包含了放任意球，已经包含了球的全排列数。所以，被排列方是不需要全排列的。

可推导出线排列的一般定义：从n个不同的元素中选r个按次序排列，称从n中选r个排列。其排列数记为P( n, r)。

P( n, r)      = n( n - 1)( n – 2 )…( n – r + 1)  ( n > 2)即P( n, r)       = n!/( n –r )!

在快速解决问题时，有了线排列的公式之后可将很多的符合线排列规律的问题直接转化[这个快速转化的过程还得熟知线排列的原理 ]到线排列定义上面来然后直接用公式计算就可以了。

 

2.2 圆排列

从集合S  = {a1, a2…an}中取出r个元素来按照某种次序如逆时针围成一个圆的排列称为圆排列。

圆排列是一种特殊的线排列[ ^-^]，因为圆排列跟线排列的区别在于需要将一些元素位置变化不能引起排列数变化的情况给排除掉。如8个人围成一个圆的排列数。首先这个是一个全排列的情况，可得排列数N          = 8！。但如果将这8个人围绕圆心旋转，则无论怎么旋转圆排列数没有发生变化，但这些情况[每个元素位置的变化(旋转得来) ]在线排列中属不同的排列，所以圆排列真实的排列数N     = 8！/ 8。

 

2.3 重排列

（1）无限重排列

         从集合S  = {a1, a2,…,an}中选r个元素排列到编号为1,,2,…,n中的盒子中，若不限制每个盒子容纳球的个数，则此位无限重排列。无限重排列的排列数     N      = n^r。

（2）有限重排列

         有限重排列指排列元素中有相同的元素进行排列时所对应的排列过程。此时相同元素的全排列是一种情况，则计算排列数的公式为         N      = P( n, r)/r1!*r2*…rk!。r1…rk表示每种元素重复的个数。

 

3 组合

         从集合S  = {a1, a2,…,an}中取出r个元素来而不考虑此r个元素之间的次序就称之为组合。组合数计算公式为N  = C( n, r)         = P( n,r )/r!。

 

3.1 非重组合

         非重组合是指每个元素最多只能出现一次。

 

3.2重组合

         从集合中选取元素有的元素可以重复的问题，即从n个不同元素中取r个允许重复的元素而不考虑其次序时，称为从n个元素取r个允许重复的组合，简称重组合。计算此种组合数的公式为N           = H(n,r)    = C( n +r -1, r)

 

 

总结

（1）被排列方是不需要全排列的。

（2）学习排列组合问题的目的是为了解决相关的问题，并且训练思考的能力。