部分和问题---多重部分和问题---动态规划

第一：01部分和（每个数只取一次）

给定整数a1、a2、.......an，判断是否可以从中选出若干数，使它们的和恰好为K。

输入：

n=4

a={1,2,4,7}

k=13

输出：

Yes（13=2+4+7）

思路：先介绍一种深度优先的搜索方法，从a1顺序决定每个数加或不加，在全部n个数都决定之后在判断和是否为K即可。这个搜索的复杂度是O（2^n）.

int a[MAXN];int n,k;bool dfs(int i,int sum){    if(i==n) return sum==k;    if(dfs(i+1,sum))return 1;    if(dfs(i+1,sum+a[i]))return 1;   return 0;}/// initial call dfs(0,0)；

如果要求保存相加的每一个数，可以这样实现：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int a[4]={1,2,4,7},k;vector<int> ans;void dfs(int i,int sum){if(i==4){if(sum==k)   {   for(int i=0;i!=ans.size();i++)cout<<ans[i]<<" ";cout<<endl;return ;   }   else  return ;}dfs(i+1,sum);ans.push_back(a[i]);dfs(i+1,sum+a[i]);ans.pop_back();return ;}int main(){ k=7; dfs(0,0);}

第二：多重部分和

n种大小不同的数字 ai，每种各mi个，判断是否可以从这些数字之中选出若干个使他们的和恰好为K。

输入：

n=3;

a={3,5,8}

m={3,2,2}

K=17

输出：

Yes(3*3+8)

思路：

这个问题可以用DP来求解: dp[i][j] := 用前i种数字是否能加和成j

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int n,K;const int maxn=100;const int maxk=100000;int a[maxn],m[maxn];bool dp[maxn][maxk];int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];for(int i=0;i<n;i++)cin>>m[i];cin>>K;dp[0][0]=1;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<=K;j++)for(int k=0;k<=m[i] && k*a[i]<=j;k++){dp[i+1][j] |=dp[i][j-k*a[i]];  //只要k=0,1,2....中的任意一种为真，那么dp[i+1][j]就能为真}if(dp[n][K])cout<<"yes"<<endl;else cout<<"no"<<endl;//cout<<dp[n][K]<<endl;return 0;}

将这个问题稍加变形：求解从这些数字中选取若干能恰好加和成K的方法数。

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int n,K;const int maxn=100;const int maxk=100000;int a[maxn],m[maxn];int dp[maxn][maxk];int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];for(int i=0;i<n;i++)cin>>m[i];cin>>K;dp[0][0]=1;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<=K;j++)for(int k=0;k<=m[i] && k*a[i]<=j;k++){dp[i+1][j] +=dp[i][j-k*a[i]];  //对所有满足的k种情况进行累加}/*if(dp[n][K])cout<<"yes"<<endl;else cout<<"no"<<endl;*/cout<<dp[n][K]<<endl;return 0;}