多重部分和问题

问题

有 n 种物品，第i种物品的每个物品的价值是 ai，数目是 mi。判断是否可以选择若干数字使得价值和是K。

数据范围

1≤n≤100
1≤ai,mi,≤105
1≤K≤105

多重背包

思路

看作背包大小是K，物品的价值和体积都是ai，物品数目是 mi 的多重背包。如果最大价值是 K 的话就是可以选出，否则便是不能选出。

复杂度

利用二进制分解，可以使时间复杂度达到O(K∑log2mi)。
大约有 1.7×108，显得略大。

另解

思路

设 dp[i][j] 表示前 i 种数字组合成 j 之后，至多剩余的 ai 的个数。
那么：

dp[i][j]=⎧⎩⎨mi,−1,dp[i][j−ai]−1,dp[i−1][j]>0j<ai or dp[i][j−ai]≤0otherwise

dp[n][K]≥0 说明可以取出，否则即不可以。

复杂度

O(nK)，大约是107。