数论学习总结2
来源:互联网 发布:网络丑男 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 18:06
5.威尔逊定理
(p-1)! mod p=-1 (p为素数)
证:
若p不是素数,则gcd((p-1)!,p)>1,且(p-1)! mod p=k*gcd((p-1)!,p) (k=1,2,3...),即证充分性。
设集合A={1,2,3...p-1} 则A为 mod p 的剩余系,考虑任意i ∈ A存在j ∈ A使i*j mod p=1
(因为p为素数,所以i与p互质,k*i mod p 构成了一个剩余系,k=1,2,3...p-1,即存在j k)
考虑i=j的情况,则有x^2 mod p=1
((x^2-1) mod p=0 >> (x-1)(x+1) mod p=0 >>x=1或x=p-1)
于是有(p-1)! mod p=((1 mod p)*((p-1) mod p)) mod p=-1
6.费马小定理
a^(p-1) mod p=1 (p为素数且a与p互质)
证:
a mod p构成了一个剩余系A,k*a mod p ∈ A (k=1,2,3...p-1),于是有
(1*a mod p)*(2*a mod p)...((p-1)*a mod p)mod p = (p-1)! mod p
运用 威尔逊定理 化简得 (a^(p-1) mod p)*(-1) ≡ -1 (mod p)
等式两边乘以-1,即证
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