二分查找

       编程珠玑第4章中提到：虽然第一篇二分搜索论文在1946年就发表了，但是第一个没有错误的二分搜索策略却直到1962年才出现，由此可见二分查找思想虽然简单，但是要写好还是很难的。

       那二分查找会出现那么多错误，主要是因为什么原因呢？

边界问题

         在二分查找的时候，边界很重要，需要理解查找的边界是什么？

         边界主要可以分为[low,upper]，和[low，upper），即左闭右开、左闭右闭。这两种情况下，代码是不一样的，其不同可以参考下面的代码

/*输入：A是待查找的非降序数组，n是数据的个数，key是查找的元素返回：没有key，返回-1，有返回在数据中的下标*/int binarySearch( int *A, int n, int key ){int begin = 0;int end   = n;// [0,n) 左闭右开while ( begin < end ){int mid = begin + ( end - begin ) / 2;if ( A[mid] == key )return mid;else if ( A[mid] < key )begin = mid + 1;else // A[mid] > key  end = mid;}return -1;}

这个是左闭右开，所以当key < A[mid]的时候，此时key在[ begin, mid)之间

int binarySearch( int *A, int n, int key ){int begin = 0;int end   = n;// [0,n] 左闭右闭while ( begin <= end ){int mid = begin + ( end - begin ) / 2;if ( A[mid] == key )return mid;else if ( A[mid] < key )begin = mid + 1;else // A[mid] > key  end = mid - 1;}return -1;}

 

二分的优化问题

1.    查找第一个出现的位置

         如果查找的数在数据中出现多次，那么返回第一个出现的位置，这个剑指offer上的面试题38差不多，此处给出实现：

// A范围是A[begin, end]为左闭右闭int getFisrtOfK(int *A, int begin, int end, int key ){if ( begin > end )return -1;int mid = begin + ( end - begin ) / 2;int midData = A[mid];if ( midData ==  key ){if ( (mid == 0) || A[mid-1] != key )return mid;else end = mid - 1;}else if ( midData < key )begin = mid  + 1;else // midData > keyend = mid - 1;return getFisrtOfK(A, begin, end, key);}

当我们查找到A[mid] == key的时候，此时判断前一个数是否是key，如果不是key，那么此时mid就是第一个k出现的位置，如果是key，那么此时范围缩小到A[begin, mid-1]，当A[mid] ！= key时，情况和正常情况下相似。

         剑指offer中给出的是递归的解法，下面给出非递归解法

// A范围是A[begin, end]为左闭右闭int getFisrtOfK( int *A, int begin, int end, int key ){if ( A == NULL || begin > end )return -1;int low, upper;low   = begin;upper = end;while ( low <= upper ){int mid = low + ( upper - low ) / 2;int midData = A[mid];if ( key <= midData )upper = mid - 1;else low = mid + 1;}if ( low <= end || A[low] == key )return low;elsereturn -1;}

当出现key <= midData的时候，那此时key出现的第一位置必然是小于等于mid的，那此时在[begin,mid-1]中查找是否还有key了，如果没有的话，则循环结束的时候，肯定会出现low=mid了，此时通过判断A[low] == key，就可以得到第一个出现key的位置了。

2.    查找最优出现的位置

 

int getLastOfK(int *A, int begin, int end, int key ){if ( A == NULL || begin > end )return -1;int low, upper;low   = begin;upper = end;while ( low <= upper ){int mid = low + ( upper - low ) / 2;int midData = A[mid];if ( midData <= key ) // 此时 mid <= key, 那么mid可能是最后一个出现的key了，或者在[mid+1, end]中还有keylow  = mid + 1;else // midData > keyupper = mid - 1;}if ( upper >= 0 || A[upper] == key )return upper;elsereturn -1;}

当出现midData <= key的时候，那此时key出现的最后位置必然是大于等于mid的，那此时在[mid+1,end]中查找是否还有key了，如果没有的话，则循环结束的时候，肯定会出现upper=mid了，此时通过判断A[upper] == key，就可以得到最后一个出现key的位置了。

 

为了测试方便，给出剑指offer中的测试代码：

// NumberOfK.cpp : Defines the entry point for the console application.//// 《剑指Offer——名企面试官精讲典型编程题》代码// 著作权所有者：何海涛#include "stdafx.h"int GetFirstK(int* data, int length, int k, int start, int end);int GetLastK(int* data, int length, int k, int start, int end);int GetNumberOfK(int* data, int length, int k){    int number = 0;    if(data != NULL && length > 0)    {        int first = GetFirstK(data, length, k, 0, length - 1);        int last = GetLastK(data, length, k, 0, length - 1);                if(first > -1 && last > -1)            number = last - first + 1;    }    return number;}// 找到数组中第一个k的下标。如果数组中不存在k，返回-1int GetFirstK(int* data, int length, int k, int start, int end){//     if(start > end)//         return -1;// //     int middleIndex = (start + end) / 2;//     int middleData = data[middleIndex];// //     if(middleData == k)//     {//         if((middleIndex > 0 && data[middleIndex - 1] != k) //             || middleIndex == 0)//             return middleIndex;//         else//             end  = middleIndex - 1;//     }//     else if(middleData > k)//         end = middleIndex - 1;//     else//         start = middleIndex + 1;// //     return GetFirstK(data, length, k, start, end);if ( data == NULL || start > end )return -1;int low, upper;low   = start;upper = end;int key = k;while ( low <= upper ){int mid = low + ( upper - low ) / 2;int midData = data[mid];if ( key <= midData )upper = mid - 1;else low = mid + 1;}if ( low <= end || data[low] == key )return low;elsereturn -1;}// 找到数组中最后一个k的下标。如果数组中不存在k，返回-1int GetLastK(int* data, int length, int k, int start, int end){//     if(start > end)//         return -1;// //     int middleIndex = (start + end) / 2;//     int middleData = data[middleIndex];// //     if(middleData == k)//     {//         if((middleIndex < length - 1 && data[middleIndex + 1] != k) //             || middleIndex == length - 1)//             return middleIndex;//         else//             start  = middleIndex + 1;//     }//     else if(middleData < k)//         start = middleIndex + 1;//     else//         end = middleIndex - 1;// //     return GetLastK(data, length, k, start, end);if ( data == NULL || start > end )return -1;int low, upper;low   = start;upper = end;int key = k;while ( low <= upper ){int mid = low + ( upper - low ) / 2;int midData = data[mid];if ( midData <= key ) // 此时 mid <= key, 那么mid可能是最后一个出现的key了，或者在[mid+1, end]中还有keylow  = mid + 1;else // midData > keyupper = mid - 1;}if ( upper >= 0 || data[upper] == key )return upper;elsereturn -1;}// ====================测试代码====================void Test(char* testName, int data[], int length, int k, int expected){    if(testName != NULL)        printf("%s begins: ", testName);    int result = GetNumberOfK(data, length, k);    if(result == expected)        printf("Passed.\n");    else        printf("Failed.\n");}// 查找的数字出现在数组的中间void Test1(){    int data[] = {1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5};    Test("Test1", data, sizeof(data) / sizeof(int), 3, 4);}// 查找的数组出现在数组的开头void Test2(){    int data[] = {3, 3, 3, 3, 4, 5};    Test("Test2", data, sizeof(data) / sizeof(int), 3, 4);}// 查找的数组出现在数组的结尾void Test3(){    int data[] = {1, 2, 3, 3, 3, 3};    Test("Test3", data, sizeof(data) / sizeof(int), 3, 4);}// 查找的数字不存在void Test4(){    int data[] = {1, 3, 3, 3, 3, 4, 5};    Test("Test4", data, sizeof(data) / sizeof(int), 2, 0);}// 查找的数字比第一个数字还小，不存在void Test5(){    int data[] = {1, 3, 3, 3, 3, 4, 5};    Test("Test5", data, sizeof(data) / sizeof(int), 0, 0);}// 查找的数字比最后一个数字还大，不存在void Test6(){    int data[] = {1, 3, 3, 3, 3, 4, 5};    Test("Test6", data, sizeof(data) / sizeof(int), 6, 0);}// 数组中的数字从头到尾都是查找的数字void Test7(){    int data[] = {3, 3, 3, 3};    Test("Test7", data, sizeof(data) / sizeof(int), 3, 4);}// 数组中的数字从头到尾只有一个重复的数字，不是查找的数字void Test8(){    int data[] = {3, 3, 3, 3};    Test("Test8", data, sizeof(data) / sizeof(int), 4, 0);}// 数组中只有一个数字，是查找的数字void Test9(){    int data[] = {3};    Test("Test9", data, sizeof(data) / sizeof(int), 3, 1);}// 数组中只有一个数字，不是查找的数字void Test10(){    int data[] = {3};    Test("Test10", data, sizeof(data) / sizeof(int), 4, 0);}// 鲁棒性测试，数组空指针void Test11(){    Test("Test11", NULL, 0, 0, 0);}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){    Test1();    Test2();    Test3();    Test4();    Test5();    Test6();    Test7();    Test8();    Test9();    Test10();    Test11();    return 0;}