狄利克雷过程（dirichlet process ）的五种理解

狄利克雷过程（dirichlet process ）是目前变参数学习（non parameter）非常流行的一个理论，很多的工作都是基于这个理论来进行的，如HDP（hierarchical dirichlet process）。

下面我们谈谈dirichlet process的五种角度来理解它。

第一种：原始定义：假设存在在度量空间\Theta上的分布H和一个参数\alpha，如果对于度量空间\Theta的任意一个可数划分（可以是有限或者无限的）A1, A2,...,An，都有下列式子成立：

(G(A1),G(A2),...,G(An)) ~ Dir(\alpha H(A1), \alpha H(A2),..., \alpha H(An)),  这里Dir是dirichlet 分布，

我们称G是满足Dirichlet process的。

这个定义是1973年Ferguson最早提出的定义。在有了这个定义之后，我们怎么去构造一个dirichlet process（DP）出来呢？或者如果我们想从这个DP中抽取出一些样本，怎么抽呢？由于这个原因，我们有了下面三种构造性定义或者解释： 中国餐馆过程（CRP)，polya urn ，stick-breaking。

第二种：中国餐馆过程（CRP）

假设一个中国餐馆有无限的桌子，第一个顾客到来之后坐在第一张桌子上。第二个顾客来到可以选择坐在第一张桌子上，也可以选择坐在一张新的桌子上，假设第n＋1个顾客到来的时候，已经有k张桌子上有顾客了，分别坐了n1,n2,...，nk个顾客，那么第n＋1个顾客可以以概率为ni／(\alpha+n)坐在第i张桌子上，ni为第i张桌子上的顾客数；同时有概率为\alpha／(\alpha+n)选取一张新的桌子坐下。那么在n个顾客坐定之后，很显然CRP把这n个顾客分为了K个堆，即K个clusters，可以证明CRP就是一个DP。

注意这里有一个限制，每张桌子上只能有同一个dish，即一桌人喜欢吃同一道菜。

第三种：Polya urn模型

假设我们有一个缸，里面没有球，现在我们从一个分布H中选取一种颜色，然后把这种颜色涂在一个球上放入缸中；然后我们要么从缸中抽取一个球出来，然后再放入两个和这个球同种颜色的球进入缸中；要么就从分布H中选取一个颜色，然后把这种颜色涂在一个球上放入缸中。从缸中抽取某种颜色的一个球的概率是ni/(\alpha+n)，ni是这种颜色的球的个数，n是总的球个数；不从缸中抽取而放入一种颜色的球的概率是\alpha/(\alpha+n)。很明显，polya urn模型和CRP有一一对应的关系，颜色对应一个桌子，坐新桌子对应于不从缸中选取而是从H中选取一种颜色涂球放入缸中。

第四种：stick-breaking模型

假设有一个长度为1的线段，我们从中选取\pi_1长出来，剩下的部分再选取\pi_2出来，循环下去，\pi_n，无穷下去，这个有点类似我们古代的一句话：

“一尺之踵，日取其半，万世不竭”，它们满足\sum \pi_i ＝ 1

对每个\pi_i，我们都从分布H中选取一个\theta_i，然后从F(\theta_i)中选取出一个x_i出来。这里的\theta_i就对应一个cluster，类似地，我们可以看到数据自然地被分为了各个堆，可以证明这个模型仍然是一个DP。

第五种：无限混合模型

从stick－breaking模型我们看出，我们可以把DP看着是一个无限混合模型，即

G ~ \sum_1^\inf \pi_i*F(\theta_i)，其中\sum \pi_i ＝ 1。\pi_i 就是混合模型中每个子模型的权重。

目前应用最多的还是从第五种角度来看待问题，即把DP看着是一个无限混合模型，其中值得注意的是：

1）虽然DP是一个无限混合模型，但是可以证明，随着数据的增多，模型的个数是呈现log 增加的，即模型的个数的增长是比数据的增长要缓慢得多的；

2）DP是有一个马太效应在里面的，即越富裕的人越来越富裕，我们可以从第二和第三种解释中看到，每个桌子或者颜色已经有的数据越多，那么下一次被选中的概率越大，因为是与在桌子上的个数成正比的。

DP是一个复杂的随机过程，需要进一步深入理解，下篇将会继续这个话题。