旋转数组的最小元素

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题目：把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个排好序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如数组{3, 4, 5, 1, 2}为{1, 2, 3, 4, 5}的一个旋转，该数组的最小值为1。

         分析：这道题最直观的解法并不难。从头到尾遍历数组一次，就能找出最小的元素，时间复杂度显然是O(N)。但这个思路没有利用输入数组的特性，我们应该能找到更好的解法。

         我们注意到旋转之后的数组实际上可以划分为两个排序的子数组，而且前面的子数组的元素都大于或者等于后面子数组的元素。我们还可以注意到最小的元素刚好是这两个子数组的分界线。我们试着用二元查找法的思路在寻找这个最小的元素。

         首先我们用两个指针，分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。按照题目旋转的规则，第一个元素应该是大于或者等于最后一个元素的（这其实不完全对，还有特例。后面再讨论特例）。

接着我们得到处在数组中间的元素。如果该中间元素位于前面的递增子数组，那么它应该大于或者等于第一个指针指向的元素。此时数组中最小的元素应该位于该中间元素的后面。我们可以把第一指针指向该中间元素，这样可以缩小寻找的范围。同样，如果中间元素位于后面的递增子数组，那么它应该小于或者等于第二个指针指向的元素。此时该数组中最小的元素应该位于该中间元素的前面。我们可以把第二个指针指向该中间元素，这样同样可以缩小寻找的范围。我们接着再用更新之后的两个指针，去得到和比较新的中间元素，循环下去。

按照上述的思路，我们的第一个指针总是指向前面递增数组的元素，而第二个指针总是指向后面递增数组的元素。最后第一个指针将指向前面子数组的最后一个元素，而第二个指针会指向后面子数组的第一个元素。也就是它们最终会指向两个相邻的元素，而第二个指针指向的刚好是最小的元素。这就是循环结束的条件。

以前面的数组{3,4,5,1,2}为例，我们先把第一个指针指向第0个元素，把第二个指针指向第4个元素（下图a所示）。位于两个指针中间的数字是5，它大于第一个指针事项的数字。因此中间数字5一定位于第一个递增子数组中，并且最小的数字一定位于它的后面。因此我们可以移动第一个指针让它指向数组的中间（下图b所示）。此时位于这两个指针中间的数字是1，它小于第二个指针指向的数字。因此这个中间数字1一定位于第二个递增子数组中，并且最小的数字一定位于它的前面或者它自己就是最小的数字。因此我们可以移动第二个指针指向两个指针中间的元素（下图c所示）。

                                                                   

此时两个指针的距离是1，表明第一个指针已经指向了第一个递增子数组的末尾，而第二个指针指向第二个递增子数组的开头。第二个子数组的第一个数字就是最小的数字，因此第二个指针指向的数字就是我们查找的结果。基于以上思路，代码如下：

int Min(int *numbers, int length){    if(numbers == 0 || length <= 0)        throw new std::exception("Invalid parameters");     int index1 = 0;    int index2 = length - 1;    int indexMid = index1;    while(numbers[index1] >= numbers[index2])    {        if(index2 - index1 == 1)        {            indexMid = index2;            break;        }         indexMid = (index1 + index2) / 2;        if(numbers[indexMid] >= numbers[index1])            index1 = indexMid;        else if(numbers[indexMid] <= numbers[index2])            index2 = indexMid;    }     return numbers[indexMid];}

前面我们提到左旋转数组中，由于是把递增排序数组前面的若干个数字搬到数组的后面，因此第一个数字总是大于或者等于最后一个数字。但按照定义还有一个特例：如果把排序数组的前面0个元素搬到最后面，即排序数组本身，这仍然是数组的一个旋转，我们的代码需要支持这种情况。此时数组中的第一个数字就是最小的数字，可以直接返回。这就是在上面代码中，把indexMid初始化为index1的原因。一旦发现数组中第一个数字小于最后一个数字，表明该数组是排序的，就可以直接返回第一个数字了。

上述代码是否就完美了呢？其实不然。如果index1和index2(分别于途中P1和P2相对应)的两个数相同的情况。在前面的代码中，当这两个数相同，并且他们中间的数字也相同，我们把indexMid赋值给了index1，也就是认为此时最小的数字位于中间数字的后面。是不是一定这样？我们再来看一个例子。数组{1,0,1,1,1}和数组{1,1,1,0,1}都可以看成是递增排序数组{0,1,1,1,1}的旋转如下图所示，分别画出他们由最小数字分隔开的两个子数组。

在这两种情况下，第一个指针和第二个指针指向的数字都是1，并且两个指针中间的数字也是1，这3个数字相同。在第一种情况中，中间数字位于后面的子数组；在第二种情况中，中间数组位于前面的子数组中。因此，当这两个指针指向的数字及他们中间的数字三者相同的时候，我们无法判断中间的数字是位于前面的子数组中还是后面的子数组中，也就无法移动两个指针来缩小查找的范围。此时我们不得不采用顺序查找的方法。在把问题分析清楚形成清晰思路之后，我们就可以把前面的代码修改为：

#include<exception>int MinInOrder(int* numbers, int index1, int index2);int Min(int* numbers, int length){    if(numbers == NULL || length <= 0)        throw new std::exception("Invalid parameters");     int index1 = 0;    int index2 = length - 1;    int indexMid = index1;    while(numbers[index1] >= numbers[index2])    {        // 如果index1和index2指向相邻的两个数，        // 则index1指向第一个递增子数组的最后一个数字，        // index2指向第二个子数组的第一个数字，也就是数组中的最小数字        if(index2 - index1 == 1)        {            indexMid = index2;            break;        }         // 如果下标为index1、index2和indexMid指向的三个数字相等，        // 则只能顺序查找        indexMid = (index1 + index2) / 2;        if(numbers[index1] == numbers[index2] && numbers[indexMid] == numbers[index1])            return MinInOrder(numbers, index1, index2);        // 缩小查找范围        if(numbers[indexMid] >= numbers[index1])            index1 = indexMid;        else if(numbers[indexMid] <= numbers[index2])            index2 = indexMid;    }     return numbers[indexMid];}int MinInOrder(int* numbers, int index1, int index2){    int result = numbers[index1];    for(int i = index1 + 1; i <= index2; ++i)    {        if(result > numbers[i])            result = numbers[i];    }    return result;}// ====================测试代码====================void Test(int* numbers, int length, int expected){    int result = 0;    try    {        result = Min(numbers, length);        for(int i = 0; i < length; ++i)            printf("%d ", numbers[i]);        if(result == expected)            printf("\tpassed\n");        else            printf("\tfailed\n");    }    catch (...)    {        if(numbers == NULL)            printf("Test passed.\n");        else            printf("Test failed.\n");    }}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){    // 典型输入，单调升序的数组的一个旋转    int array1[] = {3, 4, 5, 1, 2};    Test(array1, sizeof(array1) / sizeof(int), 1);    // 有重复数字，并且重复的数字刚好的最小的数字    int array2[] = {3, 4, 5, 1, 1, 2};    Test(array2, sizeof(array2) / sizeof(int), 1);    // 有重复数字，但重复的数字不是第一个数字和最后一个数字    int array3[] = {3, 4, 5, 1, 2, 2};    Test(array3, sizeof(array3) / sizeof(int), 1);    // 有重复的数字，并且重复的数字刚好是第一个数字和最后一个数字    int array4[] = {1, 0, 1, 1, 1};    Test(array4, sizeof(array4) / sizeof(int), 0);    // 单调升序数组，旋转0个元素，也就是单调升序数组本身    int array5[] = {1, 2, 3, 4, 5};    Test(array5, sizeof(array5) / sizeof(int), 1);    // 数组中只有一个数字    int array6[] = {2};    Test(array6, sizeof(array6) / sizeof(int), 2);    // 输入NULL    Test(NULL, 0, 0);    return 0;}

由于我们每次都把寻找的范围缩小一半，该算法的时间复杂度是O(logN)。

这道题给我们一个重要的思路就是在有序或者分段有序的数组中查找一个元素，别忘了二分查找。

    在前面的代码中，如果输入的数组不是一个排序数组的旋转，那将陷入死循环。因此我们需要跟面试官讨论是不是需要判断数组的有效性。在面试的时候，面试官讨论如何验证输入的有效性，能显示我们思维的严密性。本文假设在调用函数Min之前，已经验证过输入的有效性了。

最后需要指出的是，如果输入的数组指针是非法指针，我们是用异常来做错误处理。这是因为在这种情况下，如果我们用return来结束该函数，返回任何数字都不是正确的。