递归：跳台阶问题

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题目：一个台阶总共有n级，如果一次可以跳1级，也可以跳2级。求总共有多少总跳法，并分析算法的时间复杂度。

分析：这道题最近经常出现，包括MicroStrategy等比较重视算法的公司都曾先后选用过个这道题作为面试题或者笔试题。

首先我们考虑最简单的情况。如果只有1级台阶，那显然只有一种跳法。如果有2级台阶，那就有两种跳的方法了：一种是分两次跳，每次跳1级；另外一种就是一次跳2级。

现在我们再来讨论一般情况。我们把n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为f(n)。当n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次只跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为f(n-1)；另外一种选择是第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下的n-2级台阶的跳法数目，即为f(n-2)。因此n级台阶时的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+(n-2)。

我们把上面的分析用一个公式总结如下：

        /  1                          n=1
f(n)=      2                          n=2
        \  f(n-1)+f(n-2)               n>2

分析到这里，相信很多人都能看出这就是我们熟悉的Fibonacci序列。

 题目：定义Fibonacci数列如下：

        /  0                      n=0
f(n)=      1                      n=1
        \  f(n-1)+f(n-2)          n=2

输入n，用最快的方法求该数列的第n项。

分析：在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候，都会用Fibonacci作为例子。因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉，看到题目就能写出如下的递归求解的代码。

long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n){      int result[2] = {0, 1};      if(n < 2)            return result[n];      return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);}

但是，教科书上反复用这个题目来讲解递归函数，并不能说明递归解法最适合这道题目。我们以求解f(10)作为例子来分析递归求解的过程。要求得f(10)，需要求得f(9)和f(8)。同样，要求得f(9)，要先求得f(8)和f(7)……我们用树形结构来表示这种依赖关系

                  f(10)
               /        \
            f(9)         f(8)
          /     \       /    \
       f(8)     f(7)  f(7)   f(6)
      /   \     /   \ 
   f(7)  f(6)  f(6) f(5)

我们不难发现在这棵树中有很多结点会重复的，而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加。这意味这计算量会随着n的增大而急剧增大。事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。大家可以求Fibonacci的第100项试试，感受一下这样递归会慢到什么程度。在我的机器上，连续运行了一个多小时也没有出来结果。

其实改进的方法并不复杂。上述方法之所以慢是因为重复的计算太多，只要避免重复计算就行了。比如我们可以把已经得到的数列中间项保存起来，如果下次需要计算的时候我们先查找一下，如果前面已经计算过了就不用再次计算了。

更简单的办法是从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，在根据f(1)和f(2)算出f(3)……依此类推就可以算出第n项了。很容易理解，这种思路的时间复杂度是O(n)。

long long Fibonacci_Solution2(unsigned n){      int result[2] = {0, 1};      if(n < 2)            return result[n];      long long  fibNMinusOne = 1;      long long  fibNMinusTwo = 0;      long long  fibN = 0;      for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i)      {            fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;            fibNMinusTwo = fibNMinusOne;            fibNMinusOne = fibN;      }       return fibN;}

最快的计算方法是找到公式，根据公式计算出第n项，时间复杂度为O(1)。