跳台阶问题 + 变态跳台阶问题 解法(动态规划递归 + 非递归)
来源:互联网 发布:域名ns记录是什么 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 17:17
一、跳台阶问题
题目描述: 一个台阶总共有n级,如果一次可以跳1级,也可以跳2级。求总共有多少总跳法,并分析算法的时间复杂度。
通过题目的描述,可以很清晰地看到,这就是一个Fibonacci数列。
递归实现:
unsigned long long solution(int stageNum){ //定义递归出口 if(stageNum <= 0) return 0; else if(1 == stageNum) return 1; else if(2 == stageNum) return 2; return solution(stageNum - 1) + solution(stageNum - 2);}
这是最低级的做法,耗费的时间是输入规模的指数级别的。可以加入计算缓存来提高递归速度。
采用自顶向下的动态规划。
//自顶向下的动态规划unsigned long long solution(int stageNum){ static unsigned long long Counter[101] = {0}; if(0 != Counter[stageNum]) return Counter[stageNum]; //定义递归出口 if(stageNum <= 0) return 0; else if(1 == stageNum) return Counter[1] = 1; else if(2 == stageNum) return Counter[2] = 2; Counter[stageNum] = solution(stageNum - 1) + solution(stageNum - 2); return Counter[stageNum];}这个算法可以得到线性时间复杂度的结果。
非递归实现(迭代实现):
//自底向上动态规划
//自底向上的动态规划unsigned long long solution(int number){ //题目保证 number 最大为100 static unsigned long long Counter[101] = {0}; Counter[1] = 1; Counter[2] = 2; static int calculatedIndex = 2; if(number <= calculatedIndex) return Counter[number]; //防止下标越界 if(number > 100) number = 100; for(int i = calculatedIndex + 1; i <= number; i++) { Counter[i] = Counter[i - 1] + Counter[i - 2]; } calculatedIndex = number; return Counter[number];}
二、变态跳台阶问题
题目描述: 一个台阶总共有n级,如果一次可以跳1级,也可以跳2级……也可以跳n级。求总共有多少总跳法,并分析算法的时间复杂度。
分析:用Fib(n)表示跳上n阶台阶的跳法数。如果按照定义,Fib(0)肯定需要为0,否则没有意义。但是我们设定Fib(0) = 1;n = 0是特殊情况,通过下面的分析就会知道,强制令Fib(0) = 1很有好处。ps. Fib(0)等于几都不影响我们解题,但是会影响我们下面的分析理解。
当n = 1 时, 只有一种跳法,即1阶跳:Fib(1) = 1;
当n = 2 时, 有两种跳的方式,一阶跳和二阶跳:Fib(2) = 2;
到这里为止,和普通跳台阶是一样的。
当n = 3 时,有三种跳的方式,第一次跳出一阶后,对应Fib(3-1)种跳法; 第一次跳出二阶后,对应Fib(3-2)种跳法;第一次跳出三阶后,只有这一种跳法。Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+ 1 = Fib(2) + Fib(1) + Fib(0) = 4;
当n = 4时,有四种方式:第一次跳出一阶,对应Fib(4-1)种跳法;第一次跳出二阶,对应Fib(4-2)种跳法;第一次跳出三阶,对应Fib(4-3)种跳法;第一次跳出四阶,只有这一种跳法。所以,Fib(4) = Fib(4-1) + Fib(4-2) + Fib(4-3) + 1 = Fib(4-1) + Fib(4-2) + Fib(4-3) + Fib(4-4) 种跳法。
当n = n 时,共有n种跳的方式,第一次跳出一阶后,后面还有Fib(n-1)中跳法; 第一次跳出二阶后,后面还有Fib(n-2)中跳法..........................第一次跳出n阶后,后面还有 Fib(n-n)中跳法。Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+..........+Fib(n-n) = Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-1)。
通过上述分析,我们就得到了通项公式:
Fib(n) = Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+ Fib(n-2) + Fib(n-1)
因此,有 Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-2)
两式相减得:Fib(n)-Fib(n-1) = Fib(n-1) =====》 Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 3
这就是我们需要的递推公式:Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 3
//自底向上的动态规划
//自底向上的动态规划//变态N阶跳unsigned long long solution(int number){ //题目保证 number 最大为100 static unsigned long long Counter[101] = {0}; Counter[0] = 1; Counter[1] = 1; Counter[2] = 2; static int calculatedIndex = 2; if(number <= calculatedIndex) return Counter[number]; //防止下标越界 if(number > 100) number = 100; for(int i = calculatedIndex + 1; i <= number; i++) { Counter[i] = 2 * Counter[i - 1]; } calculatedIndex = number; return Counter[number];}
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