HDU2281(Pell方程的妙用)

 

HDU2281(Pell方程的妙用)

分类： 数论2013-07-29 10:21 145人阅读 评论(0) 收藏 举报

题目：Square Number

题意：给出一个数N，求1到N的范围内，找到一个最大的n，满足，注意这里的N很大啊，10^18

解析：由于2n+1是奇数，所以3|(2n+1)，这样的话2|(n+1)，得到n=6k+1，其中k=0，1，2。。。

则n=6k+1<=N，所以：

我们可以得到3k+1与4k+1互素，证明：

现在就是有：

令：

消去k得到：，继续令x=2a，y=b

得到，哈哈，Pell方程，在10^18范围内由于x，y都是10^9级别的，所以实际上处理到Pell方程的第17个

解就可以了。另外这里的x是偶数才行。

然后先求最小解，然后递推式，最后程序中再判断一下就行了。

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1. #include <iostream>  
2. #include <string.h>  
3. #include <stdio.h>  
4.   
5. using namespace std;  
6. typedef long long LL;  
7.   
8. const int N=25;  
9.   
10. LL x[N],y[N];  
11. LL tmpx,tmpy,n,k;  
12.   
13. void Init()  
14. {  
15.     x[1]=2;y[1]=1;  
16.     for(int i=2;i<20;i++)  
17.     {  
18.         x[i]=2*x[i-1]+3*y[i-1];  
19.         y[i]=x[i-1]+2*y[i-1];  
20.     }  
21. }  
22.   
23. int main()  
24. {  
25.     Init();  
26.     while(cin>>n)  
27.     {  
28.         if(n==0) break;  
29.         for(int i=17;i>=0;i--)  
30.         {  
31.             if(x[i]%2==0&&x[i]*x[i]<=2*n+2)  
32.             {  
33.                 tmpx=x[i]/2;  
34.                 tmpy=y[i];  
35.                 break;  
36.             }  
37.         }  
38.         k=(tmpx*tmpx-1)/3;  
39.         cout<<6*k+1<<" "<<tmpx*tmpy<<endl;  
40.     }  
41.     return 0;  
42. }