MIT算法导论6（顺序统计、中值）

        在一个无序数组中，想得到Kth小的元素。首先大家想到的一定是先排序，然后再输出A[k]; 那么不使用排序，还有什么解决办法呢？

        下面介绍一种算法，随机选择算法 Rand-Select(int A[], int p, int q, int i ),表示在数组A中[p, q]区间上寻找第i小的元素，这种算法会用到随机分割方法（在随机化快速排序算法中有介绍)。伪代码如下：

if(p=q) then return A[p];

r  = RandPartition(A,p,q); //r 为划分元素的序号，即

   A    ————————————————————————————
       |  《a[r]   【】   >a[r]      |
        ————————————————————————————
       p           r               q
       [ k=r-p+1   ]

              k = r-p+1 

然后比较分割后得到的r与k之间的大小（因为k表示A[r]为第kth小元素）

if (i=k)  then return A[r];

else if(i<k) then return Rand-Select(A, p, r-1, i)

else   then return Rand-Select(A, r+1, q, i-k)

具体事例如下

#include <iostream>#include <ctime>#include <cstdlib>using namespace std;int Rand_Part(int a[], int p, int q);/*由函数Rand_Part, r为从p开始第kth个元素分别判断所求i与k大小注意：当i>k，由于已分割为右边，所以此时i = i-k;*/int Rand_Select(int a[],int p ,int q, int i){if(p==q) return a[p];else{int r = Rand_Part(a,p,q);int k = r-p+1;if(i==k) return a[r];else if(i<k) return Rand_Select(a,p,r-1,i);else return Rand_Select(a,r+1,q,i-k);}}//以后常用，所以单独提出来作为函数void swap(int &a, int& b){int temp = a;a = b;b = temp;}//分割—— key为主元//尤其注意在循环时 i!=j//最后交换主元与 a[i];  分成两部分 左边为《key,右边为>KEY//return 主元所在的位置int Rand_Part(int a[], int p, int q){int size = q-p+1;int r = rand()%size + p;swap(a[r],a[p]);int i = p;int key = a[p];for (int j=i+1; j<=q;j++){if(a[j]<key){i++;if(i!=j)//***Very Important easy to forgetswap(a[i],a[j]);}}swap(a[p],a[i]);return i;}int main(){// 2,3,5,6,8,10,11,13int a[]={6,10,13,5,8,3,2,11};int k = Rand_Select(a,0,7,6);cout<<k<<endl;}

       最后分析该算法运行时间，前提假设为数组中各元素各不相同。【使用递归解决方法：主方法（Master Method）】

1.最优情况下，T(n) = T(9/10 *n)+θ(n) 或者 T(n) = T(1/2 *n)+θ(n) 常数分配下结果一样，为θ(n)；

2.最坏情况下， T(n) = T(n-1)+θ(n),代表每一次分割其他元素都大于或都小于主元，结果为θ(n^2)。

一般情况下，我们的运行时间复杂度为线性的。