题目1104：整除问题

题目描述：

给定n，a求最大的k，使n！可以被a^k整除但不能被a^(k+1)整除。

输入：

两个整数n(2<=n<=1000)，a(2<=a<=1000)

输出：

一个整数.

样例输入：

6 10

样例输出：

1

代码：

#include <stdio.h>bool mark[1001];int prime[1001];int primeSize;int cnt[1001],cnt2[1001];void init() {    primeSize = 0;    int i;    for(i=0;i<1001;i++)        mark[i] = false;    for(i=2;i<1001;i++) {        if(mark[i]) continue;        prime[primeSize++] = i;        int j;        for(j=i*i;j<1001;j+=i)            mark[j] = true;    }}int main() {    int n,a,k;    int i;    init();    while(scanf("%d %d",&n,&a)!=EOF) {        for(i=0;i<primeSize;i++)            cnt[i] = cnt2[i] = 0;        for(i=0;i<primeSize;i++) {            int tmp = n;            while(tmp) {                cnt[i] += tmp/prime[i];                tmp /= prime[i];            }        }        k = 123123123;        for(i=0;i<primeSize;i++) {            while(a%prime[i]==0) {                cnt2[i]++;                a /= prime[i];            }            if(cnt2[i]==0) continue;            if(cnt[i]/cnt2[i]<k)                k = cnt[i] / cnt2[i];        }        printf("%d\n",k);    }    return 0;}                

1.n! 和 a^k可能非常大，不能被int甚至long long保存，所以不能用求余数判断是否能够整除。

2.那么应该怎样判断a能整除b呢？将a，b分解素因数：

若a能够整除b，则a的素因数，b都有且相同素因数中b的素因数的幂大于等于a的对应素因数的幂。

（素数p能够整除素数k，则k=p）

3. e(i)>=e'(i)k => k <= e(i)/e'(i)。要使所有的i使不等式都成立，只需求出

最小的e(i)/e'(i)即可。

4.剩余的工作就是对a和n！分解素因数了。a好处理，至于n！由于非常大，所以不能按照常规的方法来弄。

求n!分解素因数：

试着考虑n！中含有素因数p。n!中包含了从1到n内所有整数的乘积。每个p的倍数（包括p本身）都对n！至少贡献了一个

p因子。

1到n中p的倍数的个数是n/p个！！

所以贡献一个p因子的整数的个数至少为n/p。

那么贡献2个p因子，就至少为n/p*p，3个p因子为n/p^3。。。。。。

对于2个p因子，原本应该算幂指数加2的，但是因为前面被一个p因子的已经计算过了一次，所以加1即可。其余多因子的也一样。

这样就能计算出n！的各素因数的幂。

5.for循环中的范围均为i<primeSize，而不能是i<1001