URAL 1430

题目大意：给出a,b，N,找出自然数x,y满足：N-(a*x+b*y)的值最小，如果有多组解是，输出任意一组。

Time Limit:500MS     Memory Limit:65536KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u

数据规模：1<=a,b,N<=2^9。

理论基础：扩展欧几里得算法：在URAL 1204中已经做了详细介绍这里不再累赘。

          裴蜀定理：如果对任意两个整数a,b,关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：a*x+b*y=c有解的充要条件是：gcd(a,b)整除c。

          线性丢番图方程解的个数：如果裴蜀等式有一组解x0,y0，那么：x=x0-t*b，y=y0+t*a也是原方程的解，所以裴蜀等式有解时，那么必有无数组解。

题目分析：确实是一个简单的最优化的问题，可以有两种思路：

思路1：在保证a*x+b*y=m有自然数解的情形下，使得m最大(m<=n),求出解。这个用扩展欧几里得算法即可解决，判断有无解，如果有，求解（先求出一组解x0,y0，因为a,b大于0，所以解必然一正一负，若x0为负，则令t=(int)floor((float)x0/b)，算出y0+t*a如果为负表示无自然数解，y0为负时亦然），枚举出的第一个数即为所求，当然这不会超时，因为加了两次验证每次验证的复杂度都是O（1），会筛掉很多值。而且保证了解的最优性。当然，前面再加上一些下述的情况就万无一失了。

思路二：枚举x,y这种方式比较直接，易懂。如何枚举呢？

首先，不难想到，如果a==1或者b==1那么结果就为：n 0 or 0 n，如果：n%a==0||n%b==0，那么结果就为：n/a 0||n/b 0。

然后考虑一般情况，首先，如果a>b，t=b,b=a,a=t。这样我们就可以定出枚举的范围了，bor=min(n/a,b),这不难想到如果x大于n/a，b小的一项时，那么：假设:bor=n/a，那当：x>n/a时a*x>n不符合要求，如果：bor=b时，那么当x>b时我们完全可以将x拆为（i+b）,那么i又变得比b小了，而且i已经枚举过了，更新最小值，记录当时的x即为解咯。讲解完毕。

代码如下：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;#define maa (1<<31)#define mii ((1<<31)-1)#define forlec(i, a, b) for(int i##_b = (b), i = (a); i <= i##_b; ++i)template<class T> inline bool updateMin(T& a, T b) { return a>b? a=b, true: false; }int a,b,n,x,flag=0,Min=mii;int main(){    scanf("%d%d%d",&a,&b,&n);    if(a==1||b==1)    {        a==1?printf("%d 0\n",n):printf("0 %d\n",n);        exit(0);    }    if(a==b)    {        printf("%d 0\n",n/a);        exit(0);    }    if(a<b)    {        int temp=a;        a=b;        b=temp;        flag=1;    }    int t=min(n/a,b);    forlec(i,0,t)    {        if(updateMin(Min,(n-a*i)%b))x=i;    }    if(!flag)printf("%d %d\n",x,(n-a*x)/b);    else printf("%d %d\n",(n-a*x)/b,x);return 0;}

我自然采用的是第二种解法啦，通俗易懂。。。

参考文献：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%9D%E7%A5%96%E7%AD%89%E5%BC%8F

by:Jsun_moon http://blog.csdn.net/jsun_moon