普利姆（Prim）算法

一.普利姆（Prim）算法思想

设：N =（V , E）是个连通网，另设U为最小生成树的顶点集，TE为最小生成树的边集。

普利姆（Prim）算法步骤：

（1）初始状态： U ={u0 },（ u0 ∈V ），TE= φ,

（2）在u∈U ,v∈（V-U）所有的边(u,v)∈E中，找一条代价最小的边(u0,v0)，并将边(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U。

（3）重复（2），直到U=V为止。

此时TE中必有n-1条边，T＝（V,{TE}）就是最小生成树。

注：在最小生成树的生成过程中，所选的边都是一端在U中，另一端在V-U中。选最小边的过程是一个向集合U中添加顶点的过程。

二.利用普利姆（Prim）算法构造一棵最小生成树举例

例：利用普利姆（Prim）算法对下面的连通网构造一棵最小生成树。

利用普利姆（Prim）算法构造最小生成树的步骤：

 

一般情况下所添加的顶点应满足下列条件：

在生成树的构造过程中，图中 n 个顶点分属两个集合：已落在生成树上的顶点集 U 和尚未落在生成树上的顶点集V-U ，则应在所有连通U中顶点u和V-U中顶点v的边中选取权值最小的边（u’，v’），并把v’添加到U中。

三.Prim（普里姆）算法描述

下面我们考虑一下如何实现这个操作过程的算法。

分析 ：（1）它主要有两项操作：按条件选择一条边和将顶点加入到U集合中；（2）网中的每个顶点不是在U集合中，就是在V-U集合中。为了提高算法的时间、空间效率，我们将为这个算法设计一个辅助数组closedge，用来记录从集合U到集合V-U具有最小权值的边。对每个属于V-U集合的顶点，在辅助数组中存在一个相应的分量closedge[i-1]，它包括两个域，一个域用来表示在该顶点与V-U集合中某些顶点构成的边中权最小的那条边的权值，若该顶点进入U集合，则值为0；另一个域表示这条最小权值的边对应的在V-U集合中的顶点下标。其类型定义如下所示：

#define MAX_NUM  10struct {   int adjvex;      float lowcist;}closedge[MAX_NUM];

整个算法的执行过程可以描述为：

{ 初始化closedge数组的内容；  选择某个顶点k作为生成树的根结点，并将它加入到U集合中；  重复下列操作n-1次： 选择一条满足条件的边； 输出这条边的两个端点； 修改V-U集合中的顶点信息，即与U集合中构成最小权值的边。}

假设该网以邻接矩阵的形式给出，则完整的算法为：

void Mini_SpanTree(Graph G,int k,int n){//G是网的邻接矩阵，k是生成树根结点的序号，n是网的顶点数目  for (j=0;j<n;j++)   if (j!=k) closedge[j]={k,G[k][j]};  closedge[k].lowcost=0;  for (i=1;i<n;i++)  {    k=minmun(closedge);    printf(k,closedge[k].adjvex);    closedge[k].lowcost=0;     //将顶点加入U集合中    for (j=0;j<n;j++)     if (closedge[i]&&G[k][j]<closedge[j].lowcost)       closedge[j]={k,G[k][j]};  }}