树状数组 区间更新
来源:互联网 发布:手机不休眠软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 00:35
树状数组天生用来动态维护数组前缀和,其特点是每次更新一个元素的值,查询只能查数组的前缀和,
但这个题目求的是某一区间的数组和,而且要支持批量更新某一区间内元素的值,怎么办呢?实际上,
还是可以把问题转化为求数组的前缀和。
首先,看更新操作update(s, t, d)把区间A[s]...A[t]都增加d,我们引入一个数组delta[i],表示
A[i]...A[n]的共同增量,n是数组的大小。那么update操作可以转化为:
1)令delta[s] = delta[s] + d,表示将A[s]...A[n]同时增加d,但这样A[t+1]...A[n]就多加了d,所以
2)再令delta[t+1] = delta[t+1] - d,表示将A[t+1]...A[n]同时减d
然后来看查询操作query(s, t),求A[s]...A[t]的区间和,转化为求前缀和,设sum[i] = A[1]+...+A[i],则
A[s]+...+A[t] = sum[t] - sum[s-1],
那么前缀和sum[x]又如何求呢?它由两部分组成,一是数组的原始和,二是该区间内的累计增量和, 把数组A的原始
值保存在数组org中,并且delta[i]对sum[x]的贡献值为delta[i]*(x+1-i),那么
sum[x] = org[1]+...+org[x] + delta[1]*x + delta[2]*(x-1) + delta[3]*(x-2)+...+delta[x]*1
= org[1]+...+org[x] + segma(delta[i]*(x+1-i))
= segma(org[i]) + (x+1)*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i),1 <= i <= x
这其实就是三个数组org[i], delta[i]和delta[i]*i的前缀和,org[i]的前缀和保持不变,事先就可以求出来,delta[i]和
delta[i]*i的前缀和是不断变化的,可以用两个树状数组来维护。
poj3469 题目链接:http://poj.org/problem?id=3468
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;#define maxn 100005#define lowbit(x) (x&-x)#define LL __int64LL a[maxn], b[maxn], c[maxn], sum[maxn], n;void Add(LL a[], LL x, LL d){ while (x<=n) { a[x] += d; x += lowbit(x); }}LL Sum(LL a[], LL x){ LL sum = 0; while (x>0) { sum += a[x]; x -= lowbit(x); } return sum;}int main(){ LL m, s, t, val; char str[3]; while (~scanf("%I64d%I64d", &n, &m)) { for (int i=1; i<=n; ++i) scanf("%I64d", &a[i]); sum[0] = 0; for (int i=1; i<=n; ++i) sum[i] = sum[i-1] + a[i]; memset(b, 0, sizeof(b)); memset(c, 0, sizeof(c)); while (m--) { scanf("%s", str); if (str[0]=='Q') { scanf("%I64d%I64d", &s, &t); LL sum_a = sum[t] + (t+1)*Sum(b, t) - Sum(c, t); LL sum_b = sum[s-1] + s*Sum(b, s-1) - Sum(c, s-1); printf("%I64d\n", sum_a-sum_b); } else { scanf("%I64d%I64d%I64d", &s, &t, &val); Add(b, s, val); Add(b, t+1, -val); Add(c, s, s*val); Add(c, t+1, -val*(t+1)); } } } return 0;}
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