【技术文档】《算法设计与分析导论》R.C.T.Lee等·第5章 树搜索策略

计算机中许多问题的解空间可以用一棵树来表示，最优解就在树中的一个分支上，因此，我们在解这类问题时可以采用树搜索策略，最经典的问题包括0/1背包问题、旅行商问题、哈密顿回路问题，还有8数码问题（就是我们小时候常玩的方格拼图游戏）。

在建立这颗树（解空间）时，我们用到的方法根据搜索的次序不同可以分为广度优先搜索、深度优先搜索和最佳优先搜索。打个比方来说明一下它们之间的不同。我准备找王二麻子办点事，怎么找到他呢？如果是广度优先搜索，我会先找我所有的朋友，如果这些朋友当中没有王二麻子这个人，再找我所有朋友的朋友，如果还没有，再找我所有朋友的朋友的朋友……直至找到为止；如果是深度优先搜索，也是先找我所有的朋友，如果这些朋友当中没有王二麻子这个人，再找我的一个朋友的所有朋友，如果还没有，再找我这个朋友的一个朋友的所有朋友……直至找到为止；如果是最佳优先搜索，还是先找我所有的朋友，如果这些朋友当中没有王二麻子这个人，从我的朋友当中选出人脉最广的那个人，找他的所有朋友，如果还没找到，从当前找到的人中选出人脉最广的那个人（排除已选出的人），接着找他的所有朋友……直至找到为止。

在最佳优先搜索中有“选出人脉最广的人”这一步，抽象成一般就是建立一个评价函数，如果将评价函数运用到深度优先搜索中的“我的一个朋友”的选择上，就得到了深度优先搜索的变形——爬山法。算法不同也体现在数据结构上，广度优先搜索、深度优先搜索、最佳优先搜索对应的数据结构分别为：队列、栈、堆，其中的妙趣读者自己去体会吧。

我们在计算机中遇到的问题往往是很庞大的，建立一个完整的解空间（树）是很困难的，也是没有必要的，我们利用分支限界策略能大大减小树的分支，使问题在计算机中更容易解决。

书中在分支限界策略这节有这么一段：“我们使用树搜索技术解决了许多问题，这些问题都不是优化问题，使读者感兴趣的是注意到上面的方法都没有用于解决任何优化问题，在本节中，将介绍分支限界策略，这也许是解决一大类组合问题的最有效策略之一”。如果此处“优化问题”是指“求最优解”，那我觉得这段描述有不妥之处。树搜索策略能将所有的解表示出来，那从中找出最优解应该不是难事，而书中这段却说树搜索策略”不能解决任何优化问题“。我对树搜索策略和分支限界策略的理解是：分支限界策略是树搜索策略的补充，前者使后者能更有效的找到最优解。言归正传，分支限界策略是在广度（深度、最佳）优先搜索的基础上加上一个界限，这个“界限以至于能终止许多分支”，大大提高算法的效率，所以分支限界策略的重点是在界限的设置上，比如用分支限界策略解决人员分配问题、旅行商问题时采用了简化代价矩阵等。

接下来，让我们学习一下A*算法。由于A*算法比较难理解（至少在我看来是这样的），我将这部分的内容分成了三个部分：预备知识，A*算法规则，规则真确性的证明。

预备知识。A*算法通常用于解决优化问题，下面我们就用它来解决平面中最短路径问题，先给出两个等式：

f*(n)=g(n)+h*(n)，其中f*(n)表示节点n的代价，g(n)表示从开始节点到节点n的代价，h*(n)表示节点n到目标节点的最小代价；

f(n)=g(n)+h(n)，其中f(n)表示节点n的估计代价，g(n)表示从开始节点到节点n的代价，h(n)表示节点n到目标节点的估计最小代价。

A*算法规则。理解了上面的两个等式，A*算法的规则就很简单了：

1. 选择代价函数f(n)最小的点作为扩展点
2. 若被选择的节点就是目标节点，则算法终止，最优解即为该点的代价函数值；否则，返回到第一步继续执行

规则真确性的证明。下面我们用数学语言来证明A*算法规则能最终保证结果就是最优解。

已知：t为被选中作为下一个做扩展的节点，也是目标节点，n为已扩展过的节点

求证：g(t)即为最优解

证明：

其实，对于其中“f*(n)之一必为最优解”我是没有想通的，如果哪位读者明白其中的道理不妨告诉我，万分感激！

已经学习了三大算法：贪心法、分治策略、树搜索策略，但头脑中还是没有形成清晰的脉路：什么问题用什么策略？在接下来的学习当中，需要多加分析、总结，这样才能在头脑中形成问题类型与解决策略的对应关系。