HDU 2650 A math problem (高斯整数环)

来源：互联网发布：妻乃大元帅txt下载知轩编辑：程序博客网时间：2024/06/05 06:26

我们把集合：叫做高斯整数环，其中Z表示通常的整数环，而用表示复数域上的整数环。

那么什么是环呢？就是通过加减乘三种运算后，仍然能满足本身性质的就叫做环。

范的定义：设，，定义a的范为

设，则

(1)为非负整数，并且

(2)

(3)若，则

逆的定义：设，如果存在，使得，则称为中的乘法可逆元，简称可逆元，并且

叫做的逆。

高斯整数是可逆元的充要条件是：。中只有4个可逆元，分别是：和

定义：设和是两个非零高斯整数，如果存在可逆元，使得，则称和等价，并表示成,换句话说，

与等价，是指，，或者

高斯素数

定义：设为中的非零非可逆元，我们称为高斯素数，是指的每个因子或者为可逆元，或者是与等价的高斯整数。

引理：

(1)设为高斯整数，并且为素数，则必定为高斯素数。

(2)若为高斯素数，则其共轭元也是高斯素数。

如何判断一个高斯整数是否属于高斯素数呢？可以用下面的方法：

高斯整数是素数当且仅当：

(1)a、b中有一个是零，另一个数的绝对值是形如4n+3的素数；

(2)a、b均不为零，而为素数；

有了这个结论，那么我们就可以很轻松的解决HDU2650题了。

题目：A math problem

题意：给出，其中，判断是否为高斯素数。

分析：其实就是上面的判断高斯素数的方法，但是注意一点，这里，而正常情况是，其实差不多一样，

只是把为素数这个条件改为：为素数即可，那么如果把题目描述改为呢？同样的道理只需把

判断条件改成为素数即可，由于很大，所以写个Miller_Rabin吧。。。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <iostream>const int Times=10;using namespace std;typedef long long LL;LL multi(LL a,LL b,LL m){     LL ans=0;     while(b)     {         if(b&1)         {             ans=(ans+a)%m;             b--;         }         b>>=1;         a=(a+a)%m;     }     return ans;}LL quick_mod(LL a,LL b,LL m){     LL ans=1;     a%=m;     while(b)     {         if(b&1)         {             ans=multi(ans,a,m);             b--;         }         b>>=1;         a=multi(a,a,m);     }     return ans;}bool Miller_Rabin(LL n){    if(n==2) return true;    if(n<2||!(n&1)) return false;    LL a,m=n-1,x,y;    int k=0;    while((m&1)==0)    {        k++;        m>>=1;    }    for(int i=0;i<Times;i++)    {        a=rand()%(n-1)+1;        x=quick_mod(a,m,n);        for(int j=0;j<k;j++)        {            y=multi(x,x,n);            if(y==1&&x!=1&&x!=n-1) return false;            x=y;        }        if(y!=1) return false;    }    return true;}int main(){    LL a,b;    while(~scanf("%I64d%I64d",&a,&b))    {        if(a==0)        {            if(b%4==3&&Miller_Rabin(b)) puts("Yes");            else  puts("No");        }        else        {            LL t=a*a+2*b*b;            if(Miller_Rabin(t)) puts("Yes");            else  puts("No");        }    }    return 0;}

以下代码的功能是找一个整数的所有高斯整数的素因子。

#include <iostream>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <stdio.h>#include <math.h>using namespace std;const int N=100005;int prime[N], p[N],k;int pri[N],top;int n;struct point{    int a;    int b;    char oper;}s[N];int num;//筛选素数void isprime(){    k=0;    int i,j;    memset(prime,true,sizeof(prime));    for(i=2;i<N;i++)    {        if(prime[i])        {            p[k++]=i;            for(j=i+i;j<N;j+=i)            {                prime[j]=false;            }        }    }}//素因子分解void Divide(int n){    int i;    top=0;    for(i=0; i<k; i++)    {        if(n%p[i]==0)        {            pri[top++]=p[i];            n/=p[i];            while(n%p[i]==0)            {                pri[top++]=p[i];                n/=p[i];            }        }    }    if(n>1)        pri[top++]=n;}//高斯素数分解void Part(int prime){    int i;    if(prime==2)    {        s[num].a = 1;        s[num].b = 1;        s[num++].oper = '+';        s[num].a = 1;        s[num].b = 1;        s[num++].oper = '-';    }    else if((prime - 1)%4==0)    {        for(i=1;;i++)        {            int u=int(sqrt(prime-i*i*1.0)+1e-5);            if(u*u+i*i==prime)            {                s[num].a = i;                s[num].b = u;                s[num++].oper='+';                s[num].a = i;                s[num].b = u;                s[num++].oper='-';                break;            }        }    }    else    {        s[num].a=prime;        s[num++].b=0;    }}int cmp(const void *a, const void *b){    point *c = (point *)a;    point *d = (point *)b;    if(c->a != d->a)        return c->a - d->a;    if(c->b != d->b)        return c->b - d->b;    return c->oper == '-' ? 1 : -1;}void Print(int key){    printf("%d", s[key].a );    if(s[key].b == 0)        return;    if(s[key].b == 1)        printf("%cj", s[key].oper);    else        printf("%c%dj", s[key].oper, s[key].b);}int main(){    isprime();    int i, cas=1;    while(~scanf("%d", &n))    {        num = 0;        Divide(n);        for(i=0;i<top;i++)            Part(pri[i]);        qsort(s, num, sizeof(point), cmp);        printf("Case #%d: ", cas++);        Print(0);        for(i=1; i<num; i++)        {            if(s[i].a==s[i-1].a                    &&s[i].b==s[i-1].b                    &&s[i].oper==s[i-1].oper)                continue;            if(i)                printf(", ");            Print(i);        }        puts("");    }    return 0;}