hdu 3507 Print Article（斜率优化DP）

关于斜率优化请看这个链接：斜率优化

首先，我们可以简单的得到一个n^2的状态转移公式：dp[i]=dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+m。这个复杂度太高，肯定不能用。

我们假设在求dp[i]的时候j比k更优秀，我们可以得到一个不等式：dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2<dp[k]+(sum[i]-sum[k])^2+m。把这个不等式整理之后可以得到：（dp[j]+sum[j]^2)-(dp[k]+sum[k]^2)<2*sum[i]*(sum[k]-sum[j])，转移之后得：{（dp[j]+sum[j]^2)-(dp[k]+sum[k]^2)}/2*(sum[j]-sum[k])<sum[i]。

我们设yj=dp[j]+sum[j]^2,xj=2*sum[j]，这个不等式为：(yj-yk)/(xj-xk)<sum[i]。设不等式左边为f[j,k]，我们可以得到一个结论：if(f[j,k]<sum[i]) j优于k。

从左到右，我们设k<j<i，加入f[i,j]<f[j,k]，根据这个式子，我们是可以将j点淘汰掉的。

a、如果f[i][j]<sum[i]，根据之前的推论，我们可以得到i优于j。

b、如果f[i][j]>=sum[i]，我们能够得到j优于i，但是同时f[j,k]>sum[i]，我们可以得到k优于j。

根据以上两条，我们可以维护一个单调队列，这个队列中保存可能的i和k，删除掉完全不可能最优的j。实际操作的时候，这个队列是远远短于数列的长度的，这样也就实现了一种优化。

这里面我现在还有一点儿不是很明白，关于这个不等式等号的处理。。。。

#include<stdio.h>#include<string.h>#define N 500005int a[N],dp[N],sum[N];int n,m;int getup(int x,int y){    return dp[x]+sum[x]*sum[x]-(dp[y]+sum[y]*sum[y]);}int getdown(int x,int y){    return 2*(sum[x]-sum[y]);}int getdp(int x,int y){    return dp[y]+(sum[x]-sum[y])*(sum[x]-sum[y])+m;}int main(){    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)    {        int i;        sum[0]=0;        for(i=1; i<=n; i++)        {            scanf("%d",&sum[i]);            sum[i]+=sum[i-1];        }        int head,tail;        memset(dp,0,sizeof(dp));        head=tail=0;        a[tail++]=0;        for(i=1; i<=n; i++)        {            while(head+1<tail&&getup(a[head+1],a[head])<=sum[i]*getdown(a[head+1],a[head]))                head++;            dp[i]=getdp(i,a[head]);            while(head+1<tail&&getup(i,a[tail-1])*getdown(a[tail-1],a[tail-2])<=getup(a[tail-1],a[tail-2])*getdown(i,a[tail-1]))                tail--;            a[tail++]=i;        }        printf("%d\n",dp[n]);    }    return 0;}