RK算法

这一节介绍一下由Rabin和Karp提出的RK算法。

1，RK算法的基本思想

     HASH！

     如果两个字符串hash后的值不相同，则它们肯定不相同；如果它们hash后的值相同，它们不一定相同。

     RK算法的基本思想就是：将模式串P的hash值跟主串S中的每一个长度为|P|的子串的hash值比较。如果不同，则它们肯定不相等；如果相同，则再诸位比较之。

2，RK算法的求解过程

    将我们用来比较的字符串的全集设为∑={a,b,…,z}，设∑的长度为d=|∑|，则主串和模式串都可以看作是d进制数。例如只由数字组成的字符串，它的全集∑={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，d=10。

    设模式串为P，其长度为m，主串为S，其长度为n。则模式串P可以看作是一个m位的d进制数A，主串S可以看作是一个n位的d进制数。我们的模式匹配过程就是将A与主串中的每个长度为m的d进制数S[t…t+m-1] （t=0,1,2,…,n-m+1）的值做比较，所以整个模式匹配过程就变成了两个d进制数之间的比较过程。例如模式串为123，主串为65127451234，就是将十进制数123跟十进制数651, 512, 127, 274, 745, 451, 512, 123的逐个比较过程。

    明确了匹配过程，下面就是求解A和求解S[t…t+m-1] （t=0,1,2,…,n-m+1）的过程：

       1）求解A。根据多项式计算方法，A = P[m-1] + d * (P[m-2] + d * (P[m-3] + …+ d * (P[1] + d*P[0])…))

       2）求解S[t…t+m-1]。为了方便表示，我们设S[t…t+m-1] = S_t，则S[t+1…t+m] = S_t+1

              假设已求得S_t，现在要求S_t+1，需要注意的是S_t+1是S_t去掉高位数据，其余的m-1位乘以d后再在最低位加一位得到。于是

                                            S_t+1 = d * (S_t – d^m-1*S[t]) + S[t+m]

     公式比较晦涩，举个例子看看吧。比如上面例子中主串是65127451234。S₂=127，那么S₃=10×（127-10²×1）+ 4 = 274

   

     现在的问题是，如果A的值太大，比较的过程会比较耗时，这个时候我们可以将这个大数mod q(q是一个大素数)，同理，s_t也mod q,将两个取模之后的数相比较。

 

3，RK算法的实现　　　　

 1 #define q 144451 2 #define d 26 3  4 int isMatch(char *S, int i, char *P, int m) 5 { 6     int is, ip; 7     for(is=i, ip=0; is != m && ip != m; is++, ip++) 8         if(S[is] != P[ip]) 9             return 0;10     return 1;11 }12 13 /*14  * 字符串匹配的RK算法15  * Author：Rabin & Karp16  * 实现：CobbLiu17  * 若成功匹配返回主串中的偏移，否则返回-118  */19 int RK(char *S, char *P)20 {21     int m  = strlen(P);22     int n  = strlen(S);23     unsigned int h   = 124     unsigned int A   = 0;25     unsigned int St  = 0;26     int i;27 28     //初始化，算出最d进制下的最高位29     for(i = 0;i < m - 1;i++)30         h = (h*d) % q;31 32     for(i = 0; i != m; i++){33         A = (d*A + (P[i] - 'a')) % q;34         St = (d*St + (S[i] - 'a')) % q;35     }36 37     for(i = 0; i != n-m; i++){38         if(A == St)39             if(isMatch(S,i,P,m))40                 return i;41         St = (d*(St - h*(S[i]-'a'))+(S[i+m]-'a')) % q;42     }43 44     return -1;45 }

 

4，算法的复杂度分析

　　如果选择的素数q>=m, 则RK算法的期望运行时间为O（n+m）, 如果m<<n，则算法的期望运行时间为O(n)。具体推理过程请参看《算法导论》第32章P562页。