轉置矩陣的意義
来源:互联网 发布:查找算法时间复杂度 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 10:18
如果門徒向蘇格拉底提問:「轉置矩陣是甚麼?」蘇格拉底一如既往地回答:「不知道。」門徒於是轉而查閱課本的說法:
給定一 階矩陣 ,轉置矩陣是 階矩陣,記作 ,其中。
轉置矩陣 不過就是將 的行列對調位置而已,還有必要繼續討論下去嗎?「轉置矩陣 與原矩陣 有何關係?」誠懇向學的門徒不肯罷休又窮追猛問:「轉置矩陣 有什麼代數和幾何意義?」越是基本的問題往往越難給出令多數人滿意的答案。所以先聲明:以下言論僅為個人觀點,不代表本人服務的工作單位的立場。
從矩陣的行列交換來理解轉置矩陣只是霧裡看花。相對地,逆矩陣的意義就十分明顯,因為逆矩陣的定義直接點出它的性質:,不論解線性方程或線性變換都有直觀意義。令 為一 階方陣, 和 為 維向量。線性方程 可以解釋為 經過線性變換 映射後得到的像 (image)。當 是可逆時,
使用圖示可以清楚表達這個關係:
來自逆矩陣的啟發,我們不妨嘗試用線性變換觀點來認識轉置矩陣。以下設 為 階實矩陣。既然任意矩陣 代表一線性變換,其轉置 當然也是線性變換,表面的差異是兩者的映射空間相反,即
為便利說明,我們將 和 的關係想像為兩方在打桌球。見下圖桌球平台,圖中顯示兩個向量空間,我方 空間居左,對方 空間居右; 代表我方的球路,由左向右映射,而 代表對方的球路,由右向左映射。
桌球平台還展示了四個主要子空間。設 ,。若我方將球從 擊發,球至對方空間的落點為 ;若對方將球從 擊出,球則落於 。將 的行空間 (column space,即值域) 想成我方球桌, 的行空間 為對方球桌。(在台灣,橫向稱為列,縱向稱為行。在中國大陸,橫向稱為行,縱向稱為列。) 當我方發球點 位於 的零空間 內時, 表示球彈落桌角後出界。同樣地,當對方發球點 ,則 也表示球出界。設矩陣秩為 ,則 ,這說明了我方球桌與對方球桌「大小」相同,都等於矩陣秩。秩—零度定理 (見“線性代數基本定理(一)”) 進一步指出 和 的行空間維度與其零度 (nullity,即零空間的維度) 的關係:
到目前為止,桌球平台仍不足以完全解釋 和 的關係,我們要設法聯繫上圖顯示的四個擊球點和落點:,,,。注意, 和 同屬於 空間, 和 屬於 空間。我們猜想向量內積或許能夠提供一些有用的訊息,因為內積運算可以衍生向量長度的度量並建立子空間的正交關係。 考慮 向量 和 的內積 ,結果等於 向量 和 的內積。數學家稱這種性質為伴隨 (adjoint),並用它來定義轉置矩陣:給定一 階實矩陣 , 階轉置矩陣 滿足
根據這個定義, 確實唯一存在嗎?存在性是無庸置疑的,我們只要證明唯一性即可。設 和 為 階矩陣且任意 , 均滿足
將二式相減,可得
令 ,就有 ,因為 是任意向量,故 ,證得 是唯一的。
利用轉置矩陣的內積定義很容易發現子空間的正交關係 (參閱“線性代數基本定理(二)”)。考慮任一 ,即 ,則 ,所以 ,因為 是任意的,也就有 。同樣道理也可以證得 。再搭配秩—零度定理便推論出子空間的正交補集:
以伴隨性質來定義轉置矩陣還有另外兩個目的:
(1) 內積運算比單純地把行列對調更富幾何意義。當我們從實幾何向量空間延伸至其他的向量空間,內積的定義將有所不同,所謂的伴隨形式也將隨之調整改變。例如,“內積的定義”曾經介紹複向量 的標準內積為 ,也就有
對複矩陣 而言,轉置必須變更為共軛轉置 (conjugate transpose) 方符合前述定義。
(2) 由伴隨性質出發可以輕易推論出轉置矩陣的代數性質。例如,欲證明 ,可對 連續使用兩次定義,先對 ,再對 ,得到
將上式與 相比較,即證得所求。如欲證明 ,先對 使用定義並對調位置,再對 使用定義並對調位置:
所以, 也是 的轉置矩陣。
下面我們討論轉置矩陣的一個重要應用──最小平方法。見下圖,對方將球從 發出,球在我方桌面的落點為 。再輪到我方發球,球從 擊出至對方桌面位置 ,對方反擊後彈回我方桌面並擊中 。如果球於我方桌面的兩次落點都在同一位置,即
這代表什麼意義?上式稱為正規方程式 (normal equations)。當此式成立時,,可知 , 正是 在對方桌面 的正交投影,根據正交原則,此時 距離最短。換句話說,我方雖未能將球直接擊中對方發球點 (因為我方總是將球打向對方桌面,而 未必在對方桌面上),但仍可令球朝著與 最接近的桌面位置擊發。當 時,,我方桌面 充滿了整個 , 階方陣 是可逆的,可得出最小平方解
縱使當 時, 不可逆,仍然可於我方桌面找到一個滿足上式的解 ,比較麻煩的是這時候需要使用偽逆矩陣計算 (見“通過推導偽逆矩陣認識線性代數的深層結構”)。
最後總結本文的討論:矩陣 與其轉置 的關係就像打乒乓球, 球路是「乒」,球路是「乓」。我方乒過去,對方乓回來。對方是我方的「伴隨」球友,我方當然也是對方的「伴隨」球友,雙方共同遵守這條「乒乓協議」:
將轉置矩陣乒乓球化是我所能想到──既非十分抽象,也不過於粗淺──的解釋方法。如果讀者仍不能認同,我再提供另一個方法:想像一下,如果線性代數的世界少了轉置矩陣,哪些概念、理論和應用將因此消失?從遺失的部分反推,相信讀者也能夠建立他個人的一套轉置矩陣學說。
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