轉置與共軛轉置
来源:互联网 发布:查找算法时间复杂度 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 13:28
矩陣具有加法和純量乘法運算。除了這兩個源自純量算術的運算,矩陣還有一個獨特的運算,稱為轉置 (transpose)。令 為一 階矩陣,我們定義 的轉置 為一 階矩陣,其中 。換句話說,將 的列行對調即得轉置矩陣 ,如下例,
。
明顯地,。若 表示成分塊矩陣,則 不僅置換列行分塊,每一分塊也必須隨之轉置,例如,
。
一般而言,轉置適用於實矩陣。在許多實際應用中,複矩陣的轉置常會附加共軛運算,稱為共軛轉置 (conjugate transpose)。複數 ,其中 ,的共軛定義為 。類似複數的共軛運算, 的共軛矩陣為 ,共軛轉置則為 ,或記作 。例如,
。
同樣地,。若 是實矩陣,共軛轉置退化成轉置,即 。下面我們討論 (共軛) 轉置與其他矩陣運算的結合,並介紹一些由 (共軛) 轉置所界定的特殊矩陣。
令 和 為 階矩陣, 為一純量 (實數或複數)。矩陣的 (共軛) 轉置是一線性函數,即下列性質成立:
,
。
證明於下:對於任一 和 ,
,
故 ;類似地,對於任一 和 ,
,
故 。共軛轉置的證明只要將 以 取代即可。
接著考慮矩陣乘法的轉置。令 為一 階矩陣, 為一 階矩陣,則
。
直接計算 的 元即可證明。下面介紹以「行」或「列」作為矩陣乘法運算單元的證法 (見“矩陣乘法的現代觀點 (一)”)。令 為一 維向量。將 以行向量表示為 ,則
將 以行向量表示,,利用上面結果,可得
同樣地,共軛轉置的證明只要將轉置運算以共軛轉置運算取代即可。
若 為一 階可逆矩陣,(共軛) 轉置的逆矩陣等於逆矩陣的 (共軛) 轉置:
。
給定 ,等號兩邊計算轉置,使用矩陣乘積的轉置公式,可得
,
因此證明 。共軛轉置的證明亦同。
某些矩陣的轉置不發生任何改變,譬如,
。
令 為一 階矩陣。若 ,即 ,則 稱為對稱矩陣 (symmetric matrix)。若 ,即 ,則 稱為共軛對稱矩陣,或 Hermitian 矩陣 (見“特殊矩陣 (九):Hermitian 矩陣”)。見下例,
。
目視可以確定 是 Hermitian 矩陣,但不是對稱矩陣。相反地, 是對稱矩陣,但不是 Hermitian 矩陣。Hermitian 矩陣的主對角元必是實數,因為 ,但對稱矩陣的主對角元則未必是實數。給定一矩陣 ,如何「製造」對稱矩陣和 Hermitian 矩陣?透過矩陣加法與乘法即可,如下:(1) 是對稱矩陣, 是 Hermitian 矩陣;(2) 和 是對稱矩陣, 和 是 Hermitian 矩陣。實對稱矩陣 (實矩陣且對稱) 與 Hermitian 矩陣可謂現今最具實用價值的特殊矩陣 (見“Hermitian 矩陣與實對稱矩陣的一些實例”),這是我們定義矩陣轉置與共軛轉置的主要動機。