Dijkstra算法（单源最短路径）

  Dijkstra算法（单源最短路径）

      单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

   该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

   假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

二.Dijkstra算法

   由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路，

假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。

1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；

2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})

3.知道U=V，停止。

代码实现:

/*Dijkstra求单源最短路径 2010.8.26*/ #include <iostream>#include<stack>#define M 100#define N 100using namespace std;typedef struct node{    int matrix[N][M];      //邻接矩阵     int n;                 //顶点数     int e;                 //边数 }MGraph; void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0)   //v0表示源顶点 {    int i,j,k;    bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n);    for(i=0;i<g.n;i++)     //初始化     {        if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0)        {            dist[i]=g.matrix[v0][i];            path[i]=v0;     //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点         }        else        {            dist[i]=INT_MAX;    //若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大             path[i]=-1;        }        visited[i]=false;        path[v0]=v0;        dist[v0]=0;    }    visited[v0]=true;    for(i=1;i<g.n;i++)     //循环扩展n-1次     {        int min=INT_MAX;        int u;        for(j=0;j<g.n;j++)    //寻找未被扩展的权值最小的顶点         {            if(visited[j]==false&&dist[j]<min)            {                min=dist[j];                u=j;                    }        }         visited[u]=true;        for(k=0;k<g.n;k++)   //更新dist数组的值和路径的值         {            if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k])            {                dist[k]=min+g.matrix[u][k];                path[k]=u;             }        }            }    }void showPath(int *path,int v,int v0)   //打印最短路径上的各个顶点 {    stack<int> s;    int u=v;    while(v!=v0)    {        s.push(v);        v=path[v];    }    s.push(v);    while(!s.empty())    {        cout<<s.top()<<" ";        s.pop();    }} int main(int argc, char *argv[]){    int n,e;     //表示输入的顶点数和边数     while(cin>>n>>e&&e!=0)    {        int i,j;        int s,t,w;      //表示存在一条边s->t,权值为w        MGraph g;        int v0;        int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);        int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);        for(i=0;i<N;i++)            for(j=0;j<M;j++)                g.matrix[i][j]=0;        g.n=n;        g.e=e;        for(i=0;i<e;i++)        {            cin>>s>>t>>w;            g.matrix[s][t]=w;        }        cin>>v0;        //输入源顶点         DijkstraPath(g,dist,path,v0);        for(i=0;i<n;i++)        {            if(i!=v0)            {                showPath(path,i,v0);                cout<<dist[i]<<endl;            }        }    }    return 0;}

　　测试数据：

　　

　　运行结果：