Dijkstra算法（单源最短路径）

Dijkstra算法（单源最短路径）

     单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

  该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

  假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

二.Dijkstra算法

  由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得由V0经过Vi到达与Vi直接相邻的顶点的最短距离dist[j]=min{matrix[V0][j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路，

假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。

1.从V-U中dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；

2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{matrix[V0][j],dist[i]+matrix[i][j]})

3.知道U=V，停止。

#include <stdio.h>#include<string.h>#define MAX 201#define INF 100000int map[MAX][MAX];int min[MAX];int n, m;void dij(int src){    int v[MAX];    int i, j, k;    for (i=0; i<n; ++i){        v[i] = 0;        min[i] = INF;    }    for (min[src]=0, i=0;i<n; ++i){        for (k=-1, j=0;j<n; ++j){            if (!v[j]&& (k == -1 || min[j] < min[k]))                k = j;        }        for (v[k]=1, j=0;j<n; ++j){            if (!v[j]&& min[k] + map[k][j] < min[j])                min[j] = min[k] + map[k][j];        }    }}int main(){    int i, j;    int a, b, x;    int s, t;    while (~scanf("%d%d", &n,&m)){        for (i=0; i<n; ++i)            for (j=0; j<n; ++j)                map[i][j] = INF;        for (i=0; i<m; ++i){            scanf("%d %d %d", &a,&b, &x);            if (x <map[a][b])                map[a][b] = map[b][a] = x;        }        scanf("%d %d", &s,&t);        dij(s);        if (min[t] == INF)            printf("-1\n");        else            printf("%d\n", min[t]);    }    return 0;}