poj 3264 RMQ问题 ST算法

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比较裸的RMQ问题，即对一个无序数组，查询Q次，每次查询某个区间内最大值与最小值之差。

解决此问题的算法有三种

1、最简单的方法就是O(n)了

2、线段树

3、ST（Sparse Table）算法

其中ST算法为解此问题的最佳方法 预处理时间复杂度O(nlogn),查询时间复杂度O(1)

ST算法描述如下：

1、先对数组进行预处理

预处理使用DP的思想，f(i, j)表示[i, i+2^j - 1]区间中的最小值，我们可以开辟一个数组专门来保存f(i, j)的值。
例如，f(0, 0)表示[0,0]之间的最小值,就是num[0], f(0, 2)表示[0, 3]之间的最小值, f(2, 4)表示[2, 17]之间的最小值
注意, 因为f(i, j)可以由f(i, j - 1)和f(i+2^(j-1), j-1)导出, 而递推的初值(所有的f(i, 0) = i)都是已知的
所以我们可以采用自底向上的算法递推地给出所有符合条件的f(i, j)的值。

2、查询

假设要查询从m到n这一段的最小值, 那么我们先求出一个最大的k, 使得k满足2^k <= (n - m + 1).
于是我们就可以把[m, n]分成两个(部分重叠的)长度为2^k的区间: [m, m+2^k-1], [n-2^k+1, n];
而我们之前已经求出了f(m, k)为[m, m+2^k-1]的最小值, f(n-2^k+1, k)为[n-2^k+1, n]的最小值
我们只要返回其中更小的那个, 就是我们想要的答案, 这个算法的时间复杂度是O(1)的.
例如, rmq(0, 11) = min(f(0, 3), f(4, 3))

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <math.h>#define min(a,b) a>b?b:a#define max(a,b) a>b?a:bint height[50000],f[50000][20],fmax[50000][20];int main(){int N,Q,i,j,k,m,A,B,range_max,range_min;int temp;scanf("%d%d",&N,&Q);for (i=0;i<N;i++)scanf("%d",&height[i]);for (j=0;j<N;j++){f[j][0] = height[j];fmax[j][0] = height[j];}for (j=1;;j++){temp = (int)pow(2.0,j);if (temp>50000)break;for (m=0;m<N;m++){if (m+(int)pow(2.0,j)-1<=N-1){f[m][j] = min(f[m][j-1],f[m+(int)pow(2.0,j-1)][j-1]);fmax[m][j] = max(fmax[m][j-1],fmax[m+(int)pow(2.0,j-1)][j-1]);}}}for (i=0;i<Q;i++){scanf("%d%d",&A,&B);if (A==B){printf("0\n");continue;}A--;B--;k =  (int)(log((B-A+1)*1.0)/log(2.0));range_max = max(fmax[A][k],fmax[B-(int)pow(2.0,k)+1][k]);range_min = min(f[A][k],f[B-(int)pow(2.0,k)+1][k]);printf("%d\n",range_max - range_min);}return 0;}