一种变进制数及其应用

来源:互联网 发布:linux鸟哥私房菜 mobi 编辑:程序博客网 时间:2024/06/16 04:59

变进制数

我们经常使用的数的进制为“常数进制”,即始终逢p进1。例如,p进制数K可表示为

    K = a0*p^0 + a1*p^1 + a2*p^2 + ... + an*p^n (其中0 <= ai <= p-1),
它可以表示任何一个自然数。

对于这种常数进制表示法,以及各种进制之间的转换大家应该是很熟悉的了,但大家可能很少听说变进制数。这里我要介绍一种特殊的变进制数,它能够被用来实现全排列的Hash函数并且该Hash函数能够实现完美的防碰撞和空间利用(不会发生碰撞,且所有空间被完全使用,不多不少)。这种全排列Hash函数也被称为全排列数化技术。下面,我们就来看看这种变进制数。

设从第n位到第1位进制依次是Pn,Pn-1...P2,P1,则任何一个数可以表示为


下面证明上式的正确性:

假设变进制数的第m位am=Pm,要进位,那么


即正确的向高位进1。这说明该变进制数能够正确进位,从而是一种合法的计数方式。

举个例子:

假设从第4位到第1位进制依次是4,9,6,8,K=1024

则可表示成K=2*(9*6*8) + 3*(6*8)+2*8+0=2*432+3*48+2*8=1024

以下内容是转自http://www.cppblog.com/longzxr/archive/2009/08/04/92151.html

应用——全排列之Hash实现

我们考查这样一种变进制数:第1位逢21,第2位逢31……,第n位逢n+11。它的表示形式为
    K = a1*1 + a2*2 + a3*3 + ... + an*n (其中0 <= ai <= i),
也可以扩展为如下形式(因为按定义a0始终为0),以与p进制表示相对应:
    K = a0*0 + a1*1 + a2*2 + a3*3 + ... + an*n (其中0 <= ai <= i)。
(后面的变进制数均指这种变进制数,且采用前一种表示法)

先让我们来考查一下该变进制数的进位是否正确。假设变进制数K的第iaii+1,需要进位,而ai*i=(i+1)*i=1*(i+1)!,即正确的向高位进1。这说明该变进制数能够正确进位,从而是一种合法的计数方式。

接下来我们考查n位变进制数K的性质:
1)当所有位ai均为i时,此时K有最大值
    MAX[K] = 1*1 + 2*2 + 3*3 + ... + n*n
           = 1 + 1*1 + 2*2 + 3*3 + ... + n*n - 1
           = (1+1)*1 + 2*2 + 3*3 + ... + n*n - 1
           = 2 + 2*2 + 3*3 + ... + n*n - 1
           = ...
           = (n+1)-1
    因此,n位K进制数的最大值为(n+1)!-1
2)当所有位ai均为0时,此时K有最小值0
因此,n位变进制数能够表示0(n+1)-1的范围内的所有自然数,共(n+1)!个

在一些状态空间搜索算法中,我们需要快速判断某个状态是否已经出现,此时常常使用Hash函数来实现。其中,有一类特殊的状态空间,它们是由全排列产生的,比如N数码问题。对于n个元素的全排列,共产生n!个不同的排列或状态。下面将讨论如何使用这里的变进制数来实现一个针对全排列的Hash函数。

从数的角度来看,全排列和变进制数都用到了阶乘。如果我们能够用0n-1n!个连续的变进制数来表示n个元素的所有排列,那么就能够把全排列完全地数化,建立起全排列和自然数之间一一对应的关系,也就实现了一个完美的Hash函数。那么,我们的想法能否实现呢?答案是肯定的,下面将进行讨论。

假设我们有b0b1b2b3...bnn+1个不同的元素,并假设各元素之间有一种次序关系 b0<b1<b2<...<bn。对它们进行全排列,共产生(n+1)!种不同的排列。对于产生的任一排列 c0c1c2..cn,其中第i个元素ci1 <= i <= n)与它前面的i个元素构成的逆序对的个数为di0 <= di <= i),那么我们得到一个逆序数序列d1,d2,...,dn(0 <= di <= i)。这不就是前面的n位变进制数的各个位么?于是,我们用n位变进制数M来表示该排列:
   M = d1*1! + d2*2! + ... + dn*n!
因此,每个排列都可以按这种方式表示成一个n位变进制数。下面,我们来考查n位变进制数能否与n+1个元素的全排列建立起一一对应的关系。

由于n位变进制数能表示(n+1)!个不同的数,而n+1个元素的全排列刚好有(n+1)!个不同的排列,且每一个排列都已经能表示成一个n位变进制数。如果我们能够证明任意两个不同的排列产生两个不同的变进制数,那么我们就可以得出结论:
★ 定理1——n+1个元素的全排列的每一个排列对应着一个不同的n位变进制数。

对于全排列的任意两个不同的排列p0p1p2...pn(排列P)和q0q1q2...qn(排列Q),从后往前查找第一个不相同的元素,分别记为piqi0 < i <= n)。
1)如果qi > pi,那么,
如果在排列Qqi之前的元素xqi构成逆序对,即有x > qi,则在排列Ppi之前也有相同元素x > pi(因为x > qiqi > pi),即在排列Ppi之前的元素x也与pi构成逆序对,所以pi的逆序数大于等于qi的逆序数。又qipi在排列P中构成pi的逆序对,所以pi的逆序数大于qi的逆序数。
2)同理,如果pi > qi,那么qi的逆序数大于pi的逆序数。
因此,由(1)和(2)知,排列P和排列Q对应的变进制数至少有第i位不相同,即全排列的任意两个不同的排列具有不同的变进制数。至此,定理1得证。

计算n个元素的一个排列的变进制数的算法大致如下(时间复杂度为O(n^2)):
int factorials[8] = {1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};  template <typename T>size_t PermutationToNumber(const T permutation[], int n){    // n不能太大,否则会溢出(如果size_t为32位,则n <= 12)    size_t result = 0;    for (int j = 1; j < n; ++j) {        int count = 0;        for (int k = 0; k < j; ++k) {            if (permutation[k] > permutation[j])                ++count;        }        // factorials[j]保存着j!        result += count * factorials[j];    }    return result;}
说明:
1)由于n!是一个很大的数,因此一般只能用于较小的n
2)有了计算排列的变进制数的算法,我们就可以使用一个大小为n!的数组来保存每一个排列的状态,使用排列的变进制数作为数组下标,从而实现状态的快速检索。如果只是标记状态是否出现,则可以用一位来标记状态。