群-数学概念概述

群（group）是一个数学概念，群论（group theory）是一门数学学科。群论是伽罗瓦（E.Galois）为了解决他那个时代的几个首要的数学问题之一而创造的，那个问题是：什么时候可以用二次公式的某个推广来找到一个多项式的根？自伽罗瓦以来，群论已经建立了许多其他的应用。

  S4的一个元素

定义

设G是一个非空集合，*是它的一个（二元）代数运算，如果满足以下条件：

1. 封闭性：群内任意两个元素或两个以上的元素（相同的或不同的）的结合（积）都是该集合的一个元素。即假设对于群G操作（运算）是·，对于G里的任意元素a,b，那么a·b和b·a都必须是G的元素。

2. 结合律：虽然群元素不一定要求满足交换律，但必须满足结合律，即对G中任意元素a,b,c都有 (a·b)·c=a·(b·c)；

3. 单位元素：集合G内存在一个单位元素e，它和集合中任何一个元素的积都等于该元素本身，即对于G中每个元素a都有 e·a=a·e=a；

4. 逆元素：对任意a∈G，存在元素b∈G，使得a·b=e，则b叫做a的右逆元，若b·a=e，则b称为a的左逆元。如果b·a=a·b=e，则b称为a的逆元；

元素的集合如果满足上述四个条件就称为群，注意，进行群运算的次序是重要的。换句话说，把元素a与元素b结合，所得到的结果不一定与把元素b与元素a结合相同。而对于G里的任意两个（可以相同）元素a,b有a·b=b·a，那么群G称为交换群，或Abel(阿尔贝群)。^[1]

群是有单位元且每个元素都有逆元的半群。^[2]

群中元素的个数就是群的阶(order) 。

一些标准群

(Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+),(Q^+,*),(C^*,*)

其中Z是整数集，Q是有理数集，R是实数集，C是复数集，Q^+是正有理数集，C^*是非零复数集

群的基本概念

1. 母群、子群、不变子群?

母群/子群：如果群的子集H对于群G的乘法也构成一个群，则H称为G的子群(subgroup)，而G称为H的母群?(supergroup)。

不变子群：设H为群G的一个子群，若对G的任何元素g都有g·H·g^-1=H，则称H为G的一个不变子群（invariant subgroup）。

2.共轭性：设a与b是群G的两个元素，若G中可找到一元素x，使得b=x·a·x^-1，则称b与a共轭，或称b是x对a共轭变换的结果。

3.连续群、离散群、阿贝尔群、置换群、同构、直积群