【编程之美】2.16 求数组中最长递增子序列

问题描述：

写一个时间复杂度尽可能低的程序，求一个一维数组（N个元素）中最长递增子序列的长度。

例如：在序列1,-1,2,-3,4,-5,6,-7中，其最长递增子序列的长度为4（如1,2,4,6）。

问题分析：

该问题满足“无后效性”，可以用动态规划来解决。

设原数组为array[N]，假设LIS[i]代表以array[i]为最大元素的最长递增子序列的长度。

那么LIS[i+1] 如何得到？注意到，对于任意的k < i+1，若array[i + 1] > array[k]，则LIS[i+1] >= LIS[k] + 1。

事实上，集合{ LIS[K] + 1 | k < i+1且array[k] < array[i+1] } ∪ {1} 中的最大值即为LIS[i+1]。

后面便可以用动态规划的方法求解数组LIS[ ]，而LIS[ ]中的最大元素即为数组中最长递增子序列的长度。

代码清单：

int lis(int arr[],int n){int *lis;int i,j,max = 0;lis = (int*)malloc(sizeof(int) * n);for(i = 0;i < n;i++)lis[i] = 1;for(i = 1;i < n;i++)for(j = 0;j < i;j++)if(arr[i] > arr[j] && lis[i] < lis[j] + 1)lis[i] = lis[j] + 1;for (i = 0;i < n;i++) //max(lis)if(max < lis[i])max = lis[i];free(lis);return max;}

int main(){int arr[] = {1,-1,2,-3,4,-5,6,-7};cout<<"length of LIS is "<<lis(arr,sizeof(arr)/sizeof(arr[0]))<<endl;getchar();}