动态规划（四）--最长公共子序列

最长公共子序列问题

一种相似度的概念；一个给定的序列的子序列是将序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果。

定义：给定一个序列X=<x1,x2,。。。,xm>,另一个序列Z=<z1,z2,...,zk>满足如下条件时称为X

的子序列。即存在一个严格递增的X的下标序列<i1,i2,...,ik>,对所有j=1,2,...,k,满足xij=zj,

问题描述：给定两个序列X=<x1,x2,。。。,xm>和Y=<y1,y2,...,yn>，求X和Y的长度最长的公共子序列。

根据第一篇的理论，

Step 1：刻画最长公共子序列的特征

    LCS的最优子结构

        定理：   

             令X=<x1,x2,。。。,xm>和Y=<y1,y2,...,yn>为两个序列，Z=<z1,z2,...,zk>为X和Y的任意LCS。

            1.若Xm = Yn,则zk = xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS。

            2.若Xm不等于Yn,那么Zk不等于Xm,意味着Z是Xm-1和Y的一个LCS。

            3.若Xm不等于Yn,那么Zk不等于Xm,意味着Z是Xm和Y的一个LCS。

    上述定力告诉我们，两个序列的LCS包含两个序列的前缀的LCS，因此LCS问题具有最优子结构。

Step 2 : 一个递归解

在求解X=<x1,x2,。。。,xm>和Y=<y1,y2,...,yn>的一个LCS时，我们需要求解一个或两个子问题，如果Xm=Yn,我们应该求解Xm-1和Yn-1的一个LCS。将Xm=Yn追加到这个LCS的末尾，就得到X和Y的一个LCS。若Xm不等于Yn，我们必须求解两个子问题：求Xm-1和Y的一个LCS与X和Yn-1的一个LCS；两个LCS较长者即为X和Y的一个LCS。

定义c[i][j]表示Xi和Yj的LCS的长度可得以下公式

                                      {  0                                         若i=0或j=0

                        c[i][j] =  {c[i-1][j-1] + 1                       若i,j>0且Xi=Yj

                                      {max(c[i][j-1],c[i-1][j])           若i,j>0且xi≠Yj

Step 3：计算LCS的长度及构造LCS

自底向上方法，先生成一张表，再根据表中元素所指的方向迭代出最长子序列

/** * @author BiangHoo * * 2013年9月11日 */public class LCS {public static void main(String[] args) {String X[] = {"A","B","C","B","D","A","B"};String Y[] = {"B","D","C","A","B","A"};LCS_Length(X,Y);}static void display(String array[][]){for(int i=0;i<array.length;i++){for(int j=0;j<array[0].length;j++){System.out.print(array[i][j]+" ");}System.out.print("\n");}System.out.print("\n"+"the LCS is: ");}static void LCS_Length(String X[],String Y[]){int xlen = X.length;int ylen = Y.length;String b[][] = new String[xlen+1][ylen+1];int c[][] = new int[xlen+1][ylen+1];for(int i=0;i<xlen+1;i++){c[i][0] = 0;}for(int i=0;i<ylen+1;i++){c[0][i] = 0;}for(int i=1;i<xlen+1;i++){//bottom to topfor(int j=1;j<ylen+1;j++){if(X[i-1]==Y[j-1]){c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;b[i][j] ="arrow";}else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){c[i][j] = c[i-1][j];b[i][j] = "up";}else{c[i][j] = c[i][j-1];b[i][j] = "left";}}}display(b);Print_LCS(b,X,xlen,ylen);}static void Print_LCS(String [][] b,String[]X,int i,int j){if(b[i][j] == null){return ;}if(b[i][j] == "arrow"){Print_LCS(b,X,i-1,j-1);System.out.print(X[i-1]+" ");}else if(b[i][j] == "up"){Print_LCS(b,X,i-1,j);}else{Print_LCS(b,X,i,j-1);}}}