图论-生成树计数

好久没写博客了，对于ACM，也不刻意去刷题了，遇到一个问题就解决一个问题，脚踏实地的真真的有所收获

因为生成树计数问题需要运用线性代数的一些知识，虽说学过但是忘的差不多了，慢慢来解决这个问题吧，所以持续更新ing！↖(^ω^)↗

先来个简单的证明吧！

定义T(G)为图G生成树的个数。

对于图G：

那么不妨定义下面的这两个图：

G-e(此时e为边2到3)

G/e

那么有下面的递归式

T(G) = T(G-e) + T(G/e)

下面是证明：

当图G删除边e（u，v）时，那么在G-e的任何一个生成树中，不可能有边连接u和v这两个顶点，记G-e的生成树数目为T(G-e)

此时图G/e的所有生成树只有|v|-1个顶点，且默认G/e中的生成树必选去了边e，记G/e的生成树的数目为T(G/e)

不难看出，T(G-e)就是不包含边e的生成树的个数，T(G/e)就是包含边e的生成树的个数，所以证毕

利用上面的递归式便可以得到图G生成树的个数，只不过复杂度有点高！但是，某牛的论文说这个结论还是很重要的。

ps:自己的想法，利用T(G) = T(G-e) + T(G/e)，用递归写，一共要调用的次数为|E|，然后每次递归还要处理G/e。