生成树计数
来源:互联网 发布:老男孩python 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 11:01
问题即:给定一n个点的无向图,求其生成树的个数。
我们需要用到Matrix-tree定理,又叫Kirchhoff矩阵定理,于1847年首次被基尔霍夫先生证明,后来被广泛应用于生成树的计数问题。
定义:图G的基尔霍夫矩阵C[G]=D[G]-A[G].
其中,D[G]为此无向图G的度数矩阵,A[G]为此图的邻接矩阵.
度数矩阵:
表示的是点的度(类比有向图中的出、入度);
对于i行j列的矩阵来说,只用当i==j时才有度(仅仅此时表示第i(j)个点),其余情况均为0。
邻接矩阵:
对于此矩阵 aij 表示顶点i 到 顶点j 之间的弧度(即有几条路)。
如图:G是一个由5个点组成的无向图。
其度数矩阵为:
2 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 2
邻接矩阵为:
0 1 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
0 1 0 0 1
0 0 1 1 0
相减即为基尔霍夫矩阵:
2 -1 -1 0 0
-1 3 -1 -1 0
-1 -1 3 0 -1
0 -1 0 2 -1
0 0 -1 -1 2
那么,Matrix-Tree定理即为:
对于一个无向图G,它的生成树个数等于其基尔霍夫矩阵任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。
其中,n-1阶主子式即为,对于任意一个r,将基尔霍夫矩阵的第r行和第r列同时删去的新矩阵。
对于刚刚的例子,假设r取成2,最终结果为11。
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