区间最值与线段树

区间最值问题：

有如下无序序列，求任意子区间段的最大值。

 

接着，我们要用分治的思想来快速地解决上面的问题。在解决问题之前，先介绍一些分治的概念。

 

二分查找

二分查找是分治思想的典型运用

我们有如下序列：

A1,A2,A3……An.

要查找其中等于b的元素。一种方法就是一个个对比，看看是不是相等，时间复杂度为N。还有就是二分查找。

 

如上图，通过不断地与中间元素对比，缩小搜索区间，最后得到A4==b.时间复杂度为logN.

 

二叉搜索树

 

在二分查找中，我们要求队列是有序地。那么如果队列无序又要如何？我们可以仿造二分查找的方式，构造一个二叉搜索树，如下：

 

二叉搜索树左节点比根小，右节点比根大。上图红色箭头代表搜索A4的过程。

 

线段树

线段树也是一种二叉搜索树，我们回到区间最值的问题，有如下无序序列

 

 

现在我们要在上面的序列中，搜索任意指定区间的最大值。

 

我们先来解决总的最大值的问题

一个基本的方法就是一个个比较，取出最大值，时间复杂度为N。

我们借用二分搜索的分治思想。可以把序列划分为1-5节点的最大值和6-8的最大值，再取这两个值的较大值。递归地，我们再把1-5继续划分至只剩一个元素。这样的时间复杂度为logN .如下面的过程，即线段数搜索的过程：

 

 

上面的过程就是选取区间最大值的方式，总的最大值为9.

接着，我们要处理任意指定子序列的最值问题。

根据上图我们可以看出，根据中间的结果，可以和容易地寻找1-6个节点的最大值，分治为1-4的最大值7，5-6的最大值8,1-6的最大值就为8.

 

总结一下上述的思想。

首先，有点像总统选举，我们要寻找一个国家最适合当总统的人，不需要一个个去比较，只需要每个乡选一个最好的，再在县里比较，得出一个县里最好的，然后市，然后省，最后我们得到了全国最好的。

然后，我们选举的过程中，得到了乡，县的中间结果，这些又可以用来选取任意小范围的最好人选。如我们要选总管广东，广西和南京鼓楼区第二大街的总管，只需要用到不同级别的中间结果汇总即可。

 

线段树最终回到分治的思想上来，其应用与如下领域：

区间最值查询问题

连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 

多维空间的动态查询

 

线段树的编程实践：

线段树的节点结构为：

struct node{    int left;    int right;    int max;};

其中max保存当前线段的最大值。

线段树最基本要有三个函数：

1.递归地建立树：

void buildtree(int index,int left,int right){    tree[index].left=left;   tree[index].right=right;   tree[index].max=0;    if (left==right)    {        return;    }    int mid=(left+right)>>1;    buildtree((index<<1)+1,left,mid);    buildtree((index<<1)+2,mid+1,right);    return;}

2.递归地插入：

void insert(int index,int left,int right,int k){    int mid=(tree[index].left+tree[index].right)>>1;    if (tree[index].left==tree[index].right)    {        tree[index].max=k;        return ;    }    if (right<=mid)    {        if(tree[index].max<=k)        tree[index].max=k;        insert((index<<1)+1,left,right,k);        return;    }    else        if (left>mid)        {            if(tree[index].max<=k)        tree[index].max=k;            insert((index<<1)+2,left,right,k);            return;        }}

3.递归地查询：

int query(int index,int left,int right){    int mid=(tree[index].left+tree[index].right)>>1;    if (tree[index].left==tree[index].right)    {        return tree[index].max;    }    if (right<=mid)    {        return query((index<<1)+1,left,right);    }    else        if (left>mid)        {            return query((index<<1)+2,left,right);        }        else        {            return M(query((index<<1)+1,left,mid),query((index<<1)+2,mid+1,right));        }}

最后，求解任意区间最值的代码如下：

#include<iostream>using namespace std;#define maxn 1001int N,Q;int M(int a,int b){    return a>=b?a:b;}struct node{    int left;    int right;    int max;};struct node tree[maxn*4];void buildtree(int index,int left,int right){    tree[index].left=left;   tree[index].right=right;   tree[index].max=0;    if (left==right)    {        return;    }    int mid=(left+right)>>1;    buildtree((index<<1)+1,left,mid);    buildtree((index<<1)+2,mid+1,right);    return;}void insert(int index,int left,int right,int k){    int mid=(tree[index].left+tree[index].right)>>1;    if (tree[index].left==tree[index].right)    {        tree[index].max=k;        return ;    }    if (right<=mid)    {        if(tree[index].max<=k)        tree[index].max=k;        insert((index<<1)+1,left,right,k);        return;    }    else        if (left>mid)        {            if(tree[index].max<=k)        tree[index].max=k;            insert((index<<1)+2,left,right,k);            return;        }}int query(int index,int left,int right){    int mid=(tree[index].left+tree[index].right)>>1;    if (tree[index].left==tree[index].right)    {        return tree[index].max;    }    if (right<=mid)    {        return query((index<<1)+1,left,right);    }    else        if (left>mid)        {            return query((index<<1)+2,left,right);        }        else        {            return M(query((index<<1)+1,left,mid),query((index<<1)+2,mid+1,right));        }}int main(){    int left,right,a;    cin>>N;    buildtree(0,1,N);    for(int i=1;i<=N;i++)    {        cin>>a;        insert(0,i,i,a);        }        cin>>Q;        while(Q--)        {            cin>>left>>right;            cout<<query(0,left,right)<<endl;            }    return 0;}