二分图之匈牙利算法

二分图的基本概念就不说了，就是一个图，点可以分成两个部分，左边和右边。  左边的点只能连接到右边的点，而不能存在某些边是连接左边的两个点或连接右边的两个点。如三角形，就不是二分图。四边形就是二分图，把对角的两个点放到左边，另外的两个点放到右边，就明显是二分图了。为了下面叙述方便，左边的点集称为X，右边的称为Y。

求二分图的最大匹配有两个算法，一个是利用最大流求，一个是利用匈牙利算法。匈牙利算法比较简洁。

1、匈牙利算法

1.1 增广路径

饱和点：有匹配边连接的点。如图1中的1  5  2   6 都是饱和点，而边E（1,5），E（2,6）都是匹配边。

增广路径：从一个未饱和点开始，依次经过未匹配边、匹配边、未匹配边、未匹配边……所得的路叫做交替路。注意，如果交替路的终点是一个非饱和点，那么这条路，就叫做增广路。如图2中的3-》6-》2-》5-》1-》4就是一条增广路径。

增广路径的几条性质，非常重要。

(1)有奇数条边。
(2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。
(3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连，不要忘记哦。）
(4)整条路径上没有重复的点。
(5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。（如图1、图2所示，［1，5］和［2，6］在图1中是两对已经配好对的点；而起点3和终点4目前还没有与其它点配对。）
(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。（如图1、图2所示，原有的匹配是［1，5］和［2，6］，这两条配匹的边在图2给出的增广路径中分边是第2和第4条边。而增广路径的第1、3、5条边都没有出现在图1给出的匹配中。）
(7)最后，也是最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。（如图2所示，新的匹配就是所有蓝色的边，而所有红色的边则从原匹配中删除。则新的匹配数为3。）

增广路定理：

一个匹配是最大匹配的充分必要条件是  不存在增广路。

1.2 匈牙利树

理解 二分匹配，很多书或者资料上都没有提匈牙利树，但是，我觉得匈牙利树对理解匈牙利算法起很重要的作用。而且匈牙利树很简单。看下图：

从b开始搜增广路径，搜到了一个交替路径树，从C开始搜，搜到了匈牙利树。交替路径树和匈牙利树的区别是叶子节点是否是自由的（非匹配的）节点。

有一个非常重要的性质

如果在搜索增广路径的过程中，检索到一棵匈牙利树，就可以永久的把它从二分图中删除，而不影响检索。

1.3 匈牙利算法

挨着搜左边的顶点（X集合中的点），找其增广路径。有两种结果：一、找到了增广路径，则最大匹配数加一；二、找到了匈牙利树，则不理会（从图中删除树节点比较麻烦）。这样，把X集中的点搜一遍，即可找到最大二分匹配。

说明：

1、如果搜某点的时候，找到了增广路径，则这个点会进入匹配。以后不管再怎么搜，再怎么着增广路径，怎么变换匹配。这个点会一直在匹配中的。

2、如果搜某点的时候，找不到增广路径，那就一定找到了匈牙利树。那么根据上面绿色的性质，可以将其删除掉而不影响以后的搜索，即以后的搜索变换了原来的匹配后，对这个点是没有影响的，也就是说，这个点永远不会进入匹配了。

基于以上的两点，只要遍历一遍左边（X）中的点，就可以找到最大二分匹配了。因为每个点搜过后，就绝对了它们最终的结果是否出现在匹配中。而不受未来搜索的影响。