算法集锦(特殊模板集)

1.Miller-Rabin 算法(基于费马小定理/Fermat 定理)

作用：通过概率的方式判断素数。有误判概率，通过多次判断可以使误判概率控制在很小范围。

理论基础：如果n是一个奇素数， 将n-1表示成2^s*r的形式(r是奇 数)，a 是和n互素的任何整数， 那么a^r≡1(mod n) 或者对某个j(0≤j ≤s -1， j∈Z) 等式 a^(2^j*r) ≡-1(mod n)成立。 这个理论是通过一个事实经由Fermat定理推导而来： n是一个奇素数，则方程x2 ≡ 1 mod n只有±1两个解。

代码实现：

#define LL __int64const LL NUM=3;//判断次数，每次误判概率1/2.NUM次误判概率为2^(-num)LL check(LL a,LL n,LL x,LL t)//合数返回true{    LL ret=pow_mod(a,x,n);//a^x%n    LL last=ret;    for(LL i=1;i<=t;i++)    {        ret=mult_mod(ret,ret,n);//ret^2%n，64位乘法，需要用二进制乘法，类似快速幂。        if(ret==1 && last!=1 &&last!=n-1)return true;        last=ret;    }    if(ret!=1)return true;    return false;}bool Miller_Rabin(LL n)//Miller_Rabin算法,素数返回true{    if(n<2)return false;    if(n==2)return true;    if((n&1)==0)return false;    LL x=n-1;    LL t=0;    while((x&1)==0){x>>=1;t++;}    for(LL i=0;i<NUM;i++)    {        LL a=rand()%(n-1)+1;//生成1~n-1的随机数        if(check(a,n,x,t))            return false;    }    return true;}

2. Pollard rhos算法：

作用：求解一个数的因子。

原理：设n为待分解的大整数，用某种方法生成a和b，计算p=gcd(a-b,n),直到p不为1或a,b出现循环时为止，若p=n，则说明n是一个素数，否则p为n的一个约数。

算法步骤：选取一个小的随机数x1，迭代生成x[i] = x[i-1]^2+c，一般取c=1，若序列出现循环则退出，计算p=gcd(x[i-1]-x[i],n)，若p=1则返回上一步继续迭代，否则跳出迭代过程。若p=n，则n为素数，否则p为n的一个约数，并递归分解p和n/p。

可以在θ（sqrt(p)）的期望时间内找到n的一个小因子p。但对于因子很少，因子值很大的大整数n，该方法依然不是很有效。

为了减少反复的次数，算法做了一些改进。该算法用数对(x0,x0)开始，并且用x(i+1)=f(xi) ，迭代计算(x1,x2),(x2,x4),(x3,x6)...(xi,x2i)。在每一次迭代中，我们都应用上述函数式运算(从第二步)第一次计算数对中的第一个元素，第二次计算数对中的第二个元素。

代码实现：

LL Pollard_rho(LL n,LL c)//Pollard_rho算法，找出n的因子{    LL i=1,j,k=2,x,y,d,p;    x=rand()%n;    y=x;    while(true)    {        i++;        x=(mul_mod(x,x,n)+c)%n;        if(y==x)return n;        if(y>x)p=y-x;        else p=x-y;        d=gcd(p,n);        if(d!=1&&d!=n)return d;        if(i==k)        {            y=x;            k+=k;        }    }}

例子：hdu 3864

题目代码：http://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/12177549

3.三维求最大子长方体和（可推广到多维）

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <cstdlib>#include <iostream>#include <algorithm>#include <queue>#include <map>#include <set>#include <vector>#include <cctype>using namespace std;#define LL long longvoid expand(int i,int &b0,int &b1,int &b2){    b0=i&1;i>>=1;    b1=i&1;i>>=1;    b2=i&1;}int sign(int b0,int b1,int b2){    return (b0+b1+b2)%2==1?1:-1;}const int maxn=30;const LL INF=1LL<<60;LL s[maxn][maxn][maxn];LL sum(int x1,int x2,int y1,int y2,int z1,int z2){    int dx=x2-x1+1,dy=y2-y1+1,dz=z2-z1+1;    LL ss=0;    for(int i=0;i<8;i++)    {        int b0,b1,b2;        expand(i,b0,b1,b2);        ss-=s[x2-b0*dx][y2-b1*dy][z2-b2*dz]*sign(b0,b1,b2);    }    return ss;}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        int a,b,c,b0,b1,b2,x,y,z,x1,y1,x2,y2,i,j,k;        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);        memset(s,0,sizeof(s));        for(x=1;x<=a;x++)            for(y=1;y<=b;y++)                for(z=1;z<=c;z++)                    scanf("%lld",&s[x][y][z]);        for(x=1;x<=a;x++)            for(y=1;y<=b;y++)                for(z=1;z<=c;z++)                    for(i=1;i<=7;i++)//容斥定理，奇加偶减                    {                        expand(i,b0,b1,b2);                        s[x][y][z]+=s[x-b0][y-b1][z-b2]*sign(b0,b1,b2);                    }        LL ans=-INF;        for(x1=1;x1<=a;x1++)            for(x2=x1;x2<=a;x2++)                for(y1=1;y1<=b;y1++)                    for(y2=y1;y2<=b;y2++)                    {                        LL m=0;                        for(z=1;z<=c;z++)                        {                            LL ss=sum(x1,x2,y1,y2,1,z);                            ans=max(ans,ss-m);                            m=min(m,ss);                        }                    }        printf("%lld\n",ans);        if(T!=0)printf("\n");    }    return 0;}/*一个a*b*c的长方体废料块，每个单位废料块有一个价值，求具有最大价值和的子立方体。*/

题目：UVA10755