poj2346_A Simple Problem with Integers

题目：http://poj.org/problem?id=3468

算法来自：http://blog.csdn.net/non_cease/article/details/7435052

树状数组天生用来动态维护数组前缀和，其特点是每次更新一个元素的值，查询只能查数组的前缀和。但这个题目求的是某一区间的数组和，而且要支持批量更新某一区间内元素的值。所以这道题的关键就是成段更新树状数组的问题。

思路就是把问题转化为求数组的前缀和。

 

       首先，看更新操作update(s, t, d)把区间A[s]...A[t]都增加d，我们引入一个数组delta[i]，表示A[i]...A[n]的共同增量，n是数组的大小。那么update操作可以转化为：

1）令delta[s] = delta[s] + d，表示将A[s]...A[n]同时增加d，但这样A[t+1]...A[n]就多加了d，所以

2）再令delta[t+1] = delta[t+1] - d，表示将A[t+1]...A[n]同时减d

 

       然后来看查询操作getSum(s, t)，求A[s]...A[t]的区间和，转化为求前缀和，设sum[i] = A[1]+...+A[i]，则

                            A[s]+...+A[t] = sum[t] - sum[s-1]，

那么前缀和sum[x]又如何求呢？它由两部分组成，一是数组的原始和，二是该区间内的累计增量和, 把数组A的原始和保存在数组sum中，并且delta[i]对sum(1...x)的贡献值为delta[i]*(x+1-i)，那么

                            sum(1...x) = A[1]+...+A[x] + delta[1]*x + delta[2]*(x-1) + delta[3]*(x-2)+...+delta[x]*1

                                         = A[1]+...+A[x] + segma(delta[i]*(x+1-i))

                                         = segma(A[i]) + (x+1)*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i)，1 <= i <= x

                                         = sum[i] + (x+1)*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i)，1 <= i <= x

这其实就是三个数组[i], delta[i]和delta[i]*i的前缀和，A[i]的前缀和保持不变，事先就可以求出来存在sum[]中，delta[i]和delta[i]*i的前缀和是不断变化的，可以用两个树状数组来维护，分别设为delta1和delta2。

代码如下：

注意易错的地方"%I64d"，无论是输出还是录入时候

#include<iostream>using namespace std;#define maxn 100002int array[maxn];__int64 ori[maxn],delta1[maxn],delta2[maxn];int n;int lowbit(int t){return t&(-t);}void add(__int64 tree[],int i,int num){while(i <= n){tree[i] += num;i += lowbit(i);}}__int64 getSum(__int64 tree[],int i){__int64 ret = 0;while(i > 0){ret += tree[i];i -= lowbit(i);}return ret;}int main(){int q,a,b,c;char command;__int64 sum;scanf("%d %d",&n,&q);memset(ori,0,sizeof(ori));memset(delta1,0,sizeof(delta1));memset(delta2,0,sizeof(delta2));for(int i = 1;i<=n;i++){scanf("%I64d",&ori[i]);ori[i] += ori[i-1]; }while(q--){getchar();scanf("%c %d %d",&command,&a,&b);if(command == 'Q'){sum = ori[b] - ori[a-1];sum += ((b+1)*getSum(delta1,b) - a*getSum(delta1,a-1));sum += (getSum(delta2,a-1) - getSum(delta2,b) );//here is outputprintf("%I64d\n",sum);}else if(command == 'C'){scanf("%d",&c);add(delta1,a,c);add(delta1,b+1,-c);add(delta2,a,a*c);add(delta2,b+1,(b+1)*(-c));}}return 0;}

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