POJ3903 最长递增子序列

最长递增子序列，传统方法用dp思想，状态转移方程如下：

   dp[i] = Max{dp[j] | j < i && A[j] < A[i] } + 1;

传统写法是求dp[i]时枚举所有小于i的j，然后找一个最大的，最后加1得到dp[i]，此方法复杂度是O(n^2)

有一种优化到O(n logn)的方法是这样的：

用maxV辅助数组，

maxV[i] 代表长度为i的递增子序列的最大元素的最小值。

我们会发现该数组是有序的，证明如下：

证明：反证法，假设当i<j<=k，有MaxV[i]>=MaxV[j]，那么存在一个长度为i的递增序列a1a2...ai，且ai是计算到阶段k时所有长度为i的递增序列中最大元素的最小值，以及长度为j的序列b1b2...bj且ai>=bj，由于i<j长度j的序列b1b2...bj包含一个子序列b1b2...bi，且bi<bj<=ai，即长度为i的递增子序列最大元素的最小值不是ai，矛盾。

所以可以用二分查找来找到最长的可以将A[i]接到后面的子序列

代码如下（poj3903）

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <vector>using namespace std;int LongestIncreasingSequence(const vector<long long>& array){      int n = array.size();      vector<int> maxV(n+1,0);      maxV[1] = array[0];      int ret = 1;      for(int i = 1; i < n; ++i){          int maxv = 1;          int left = 1, right = ret;          while(left <= right){              int mid = left + (right - left) / 2;              if(maxV[mid] < array[i])                    left = mid + 1;              else                     right = mid - 1;          }                    maxV[right+1] = array[i];           ret = std::max(right+1,ret);      }      return ret;}int main(){       int n;       vector<long long> vec;       while(scanf("%d",&n)!=EOF){             vec.clear();             vec.resize(n,0);             for(int i = 0; i < n; ++i){                   long long tmp;                   scanf("%lld",&tmp);                   vec[i] = tmp;             }             printf("%d\n",LongestIncreasingSequence(vec));      }      return 0;}